円周率

Yahooより円周率が２兆５７６９億８０３７万桁まで求めました。

数字は、自然数、整数、有理数、無理数、実数、複素数に分類されます。
※虚数以外にも四元数などもあります。

無理数は、代数的数と超越数に分類されます。
代数的数とは、n次方程式より求められる解のことを言います。
x² = 2 の解は x = ±√2
なので、√2 は代数的数となります。

円周率π、自然対数e は代数的数ではないので、超越数となります。
円周率πが超越数の証明は、PDF形式の数学ノートの「円周率πが超越数であることの証明」を参考にしてください。

原始的なπの求め方は、tan(π/4) = 1 より逆関数を考えて
tan^-1(1) = π/4 （tan^-1 はアークタンジェントと読む（大学生で習います））

tan^-1(x) をテイラー展開（大学生で習います）をすると、
tan^-1(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + x⁹/9 - ...
となるので、
π/4 = tan^-1(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...
これは、値の収束が遅いですが、これで求められます。


三角関数を応用して、発見したのがマチンの公式です。
π/4 = 4*tan^-1(1/5) + tan^-1(1/239)
※tan^-1(x) と arctan(x) は表し方がありますが、同じ式です。

マチンの公式は、コンピューターのプログラムとしてよく用いられます。
また、私のExcel VBA のプログラムもこのマチンの公式を使用しています。

夏休みの数学

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