場合の数

===== 数学A・Ⅰ =====
＜和の法則＞
２つの事柄 A、B があって、これらは同時に起こり得ないとする。
そして、A の起こり方が m 通り、B の起こり方が n 通りあるとする。
A または B の起こる場合の和は m + n 通りある。

＜積の法則＞
２つの事柄 A、B があって、
A の起こり方が m 通りあり、そのおのおのに対して B の起こり方が n 通りあるとき、
A、B がともに起こる場合の数は m × n 通りある。

予備校の動画

センター入試の解答の動画を見つけました。
センター入試（解答）
受験生の方は、参考にしてください。

センターの数学_03

数学Ⅰ・A
第３問
△ABC、AB = 1、BC = √7、AC = 2

∠CAB = θ とすると

余弦定理より
BC² = AB² + AC² - 2・AB・AC・cosθ
7 = 1 + 4 - 2・1・2・cosθ
4cosθ = -2
cosθ = -(2 / 4) = -(1 / 2)
θ = 120° ... Ans


２等分線より
AB : AC = BD : CD ⇒ 1 : 2 = BD : CD より
BD = √7 / 3、CD = 2√7 / 3 ... Ans

円周角の性質より
弦ECにおいて、∠CAE = ∠CBE(∠DBE) = 60° ... Ans

円に内接する四角形より
∠A + ∠E = 180° より
∠E(∠BEC) = 180°- ∠A = 180°- 120° = 60° ... Ans

よって、△BCEは正三角形なので、
BC = BE = √7 ... Ans

余弦定理より
DE² = BD² + BE² - 2・BD・BE・cos60°
DE² = (7 / 9) + 7 - 2・(√7 / 3)・(√7)・(1 / 2)
DE² = (7 / 9) + 7 - 7 / 3 = 7((1 / 9) + 1 - (1 / 3)) = 7((1 + 9 - 3) / 9) = 49 / 9
DE ＞ 0 より
DE = 7 / 3 ... Ans

正弦定理より
a / sinA = 2Rより
ED / sin(∠DBE) = 2O'B
2O'B = (7 / 3) / sin60°= (7 / 3) / (√3 / 2) = (7 / 3)・(2 / √3)
O'B = (7 / 3)・(1 / √3) = (7 / 3)・(√3 / 3) = 7√3 / 9 ... Ans

△O'BEは O'B = O'E = 7√3 / 9、BE = √7 の２等辺三角形より
∠EBO' = θ とすると
cosθ = (BE / 2) / O'B = (√7 / 2) / (7√3 / 9) = (9√7) / (2・7・√3) = (9 / √3)・(√7 / 2・7) = 3√3・(1 / 2√7) = 3√3 / 2√7 (1 / cos²θで使用するため)
tan²θ = 1 / cos²θ - 1 = (2√7 / 3√3)² - 1 = 28 / 27 - 1 = (28 - 27) / 27 = 1 / 27
tanθ ＞ 0 より
tanθ = 1 / √27 = 1 / 3√3 = √3 / 9 ... Ans


※数学が苦手な方のために。
ゼロ点を避ける方法、√の部分に数字を入れるところがあります。
初めに、√7 と書いてあるので、√の部分に 7 を入れておけば、ゼロ点は避けられます。
本道ではありませんが、そんな方法もあります。

センターの数学_02

数学Ⅰ・A
第２問
y = 2x² - 4(a + 1)x + 10a + 1 ・・・①
※y = ax² + bx + c ⇒ y = a(x - p)² + q に変形する (平方完成)
y = 2(x² - 2(a + 1)x) + 10a + 1
y = 2(x² - 2(a + 1)x + (a + 1)²) -2(a + 1)² + 10a + 1
y = 2(x - (a + 1))² - 2(a² + 2a + 1) + 10a + 1
y = 2(x - (a + 1))² - 2a² + 6a - 1
頂点の座標は((a + 1), - 2a² + 6a - 1) ... Ans

(1)
グラフG が x 軸と接するのは、「y = ax² + bx + c の判別式D = 0」 または 「y = a(x - p)² + q の q = 0」の場合です。

=== 判別式の場合 ===
y = ax² + bx + c ⇒ 判別式D = b² - 4ac
y = ax² + 2bx + c ⇒ 判別式D = b² - ac
判別式D = b² - ac
判別式D = (2(a + 1))² - 2(10a + 1)
判別式D = 4a² + 8a + 4 - 20a - 2
判別式D = 4a² - 12a + 2
判別式D = 2(2a² - 6a + 1)

2a² - 6a + 1 = 0
=== q = 0 の場合 ===
※q = 0 と同一になる　-2a² + 6a - 1 = -(2a² - 6a + 1)

ax² + bx + c = 0 の解 x = (-b ±√(b² - 4ac)) / 2a
ax² + 2bx + c = 0 の解 x = (-b ±√(b² - ac)) / a
x = (-b ±√(b² - ac)) / a より
a = (3 ±√(3² - 2)) / 2 = (3 ±√7) / 2 ... Ans

(2) 最小値 m = -2a² + 6a - 1
※２次関数の a ＞ 0 のときの t ≦ x ≦ u のときに頂点の座標(p, q)が 最小値 q となるためにはt ≦ p ≦ u となる
-1 ≦ x ≦ 3 のときに最小値になるのは、-1 ≦ a + 1 ≦ 3 ⇔ -2 ≦ a ≦ 2 ... Ans

y(x) = 2x² - 4(a + 1)x + 10a + 1 とすると

a ＜ -2 のとき x = -1 を代入して、
m = y(-1)
m = 2 + 4(a + 1) + 10a + 1 = 14a + 7 ... Ans

2 ＜ a のとき x = 3 を代入して
m = y(3)
m = 2・9 - 12(a + 1) + 10a + 1 = -2a + 7 ... Ans

a ＜ -2 のとき、m = 14a + 7 より a = -2 のとき m = -28 + 7 = -21 より m ＜ -21 (１次関数の性質より)
-2 ≦ a ≦ 2 のとき、m = -2a² + 6a - 1 = -2(a² - 3a + 9/4) + 9/2 - 1 = -2(a - 3/2)² + 7/2 より m ≦ 7/2 (２次関数の性質より)
2 ＜ a のとき、m = -2a + 7 より a = 2 のとき m = -4 + 7 = 3 より m ＜ 3 (１次関数の性質より)

=== -2 ≦ a ≦ 2のとき ===
-2a² + 6a - 1 = 7/9
-18a² + 54a - 9 = 7
-18a² + 54a - 16 = 0
9a² - 27a + 8 = 0
(3a - 1)(3a - 8) = 0
-2 ≦ a ≦ 2 より a = 1/3 ... Ans

=== 2 ＜ aのとき ===
-2a + 7 = 7/9
-18a + 63 = 7
-18a = -56
a = 56/18 = 28/9 ... Ans

センターの数学_01

数学Ⅰ・A
第１問
[1]
A = 6x² + 5xy + y² + 2x - y - 20
※x または y でまとめる。　

ここでは、xでまとめる
A = 6x² + (5y + 2)x + y² - y - 20
A = 6x² + (5y + 2)x + (y - 5)(y + 4)
※2(y - 5) + 3(y + 4) = 2y - 10 + 3y + 12 = 5y + 2 より（たすき掛け）
A = (2x + y + 4)(3x + y - 5) ... Ans

ここでは、yでまとめる
A = y² + (5x - 1)y + 6x² + 2x - 20
A = y² + (5x - 1)y + 2(3x² + x - 10)
A = y² + (5x - 1)y + 2(3x - 5)(x + 2)
※2(x + 2) + (3x - 5) = 2x + 4 + 3x - 5 = 5x - 1 より（たすき掛け）
A = (y + 2(x + 2))(y + 3x - 5)
A = (y + 2x + 4)(y + 3x - 5)
A = (2x + y + 4)(3x + y - 5) ... Ans

x = -1
y = 2 / (3 - √7) = 2(3 + √7) / (9 - 7) = 3 + √7 (有理化する)

A = (-2 + 3 + √7 + 4)(-3 + 3 + √7 - 5)
A = (5 + √7)(√7 - 5) = (√7 + 5)(√7 - 5)
A = 7 - 25 = -18

[2]
p: a² ≧ 2a + 8 ⇔ a² - 2a - 8 ≧ 0 ⇔ (a - 4)(a + 2) ≧ 0 ⇔ a ≦ -2、4 ≦ a ⇔ a ≦ -2または4 ≦ a
q: a ≦ -2または4 ≦ a
r: a ≧ 5

(1)
q ⇒ p ならば必要条件、p ⇒ q ならば十分条件、p ⇔ q ならば必要十分条件
q は p であるための必要十分条件です。 ... Ans

(2)
条件 z の否定を￢zと表す。 (￢は論理記号では正式な記号です)
※ネットでは、上のバーを表現出来ないので、￢ (not:ノット)を使用しました。

￢q: -2 ＜ a ＜ 4
￢r: a ＜ 5

q かつ ￢r : a ≦ -2または4 ≦ a ＜ 5
q または ￢r : すべての実数
￢q かつ ￢r : -2 ＜ a ＜ 4
￢q または ￢r : a ＜ 5

「命題:A ならば B」 とは、BはAを含むという意味です
命題:p ならば(q または ￢r)は真である ... Ans
命題:(q かつ ￢r)ならばpは真である ... Ans

センター入試

センター入試が行われました。
読売新聞
ザーっとは、見ました。

相変わらず、数学Ⅰ・Aは必要十分条件の問題の出題があります。
論理学の基礎になるので、出題されると思います。

数学Ⅱ・Bは、指数・対数関数、三角関数、微分積分の問題が必須問題として出されています。

プログラムでは、数学Ⅱ・B「BASICの問題」、情報関係基礎の問題もありました。
Visual Basic.NET(VB.NET) 2008 の文法を勉強すると解けるような問題です。
マイクロソフトでも、フリーのVB.NET 2008をダウンロード出来るので、受験勉強には、いいかも・・・。

Happy New Year!!!

Happy New Year!!!

新しい新年を迎えました。

面白い数学を楽しんで欲しいと思います。
数学は、考えることが楽しいので、そこの部分を伝えられたらいいなぁと思います。

皆さんがよい新年を迎えられるように、願っています。