センター入試（数学Ⅱ・B）の解説（第３問）

＜第３問＞
数直線上で点P に実数a が対応しているとき、a を点P の座標といい、座標が a である点P を P(a) で表す。

数直線上に点P₁(1)、P₂(2) をとる。
線分P₁P₂を 3:1 に内分する点を P₃とする。
一般に、自然数n に対して、線分P_nP_{n + 1} を 3:1 に内分する点を P_{n + 2}とする。
点P_n の座標を x_n とする。

x₁ = 1、x₂ = 2 であり、
x₃ = (1・x₁ + 3・x₂)/(3 + 1) = (1 + 6)/4 = 7/4 ・・・（ア・イ）
である。

数列{x_n} の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考えよう。
自然数n に対して、
y_n = x_{n + 1} - x_n
とする。

y₁ = x₂ - x₁ = 2 - 1 = 1 ・・・（ウ）

線分P_nP_{n + 1} を 3:1 に内分する点を P_{n + 2}より
x_{n + 2} = (1・x_n + 3・x_{n + 1})/(3 + 1)
⇔ 4x_{n + 2} = x_n + 3x_{n + 1}
両辺に -4x_{n + 1} を足すと
⇔ 4x_{n + 2} - 4x_{n + 1} = - x_{n + 1} + x_n
⇔ 4(x_{n + 2} - x_{n + 1}) = -(x_{n + 1} + x_n)
y_n = x_{n + 1} - x_n より
⇔ 4y_{n + 1} = -y_n
⇔ y_{n + 1} = (-1/4)・y_n ・・・（エ・オ・カ）
(n = 1、2、3、・・・）

したがって、y_n = ar^{n - 1} = 1・(-1/4)^{n - 1} = (-1/4)^{n - 1} ・・・(0)（キ）
(n = 1、2、3、・・・）

y_n = x_{n + 1} - x_n より

y₁ + y₂ +..... + y_{n - 2} + y_{n - 1} =
(x₂ - x₁) + (x₃ - x₂) + ..... + (x_{n - 1} - x_{n - 3}) + (x_n - x_{n - 1})
⇔ y₁ +..... + y_{n - 1} = x_n - x₁
⇔ x_n = x₁ + (y₁ +..... + y_{n - 1})
⇔ x_n = x₁ + (a + ar + ..... + ar^{n - 3} + ar^{n - 2})
⇔ x_n = x₁ + a(1 - r^{n - 1})/(1 - r)
⇔ x_n = 1 + 1・(1 - (-1/4)^{n - 1})/(1 - (-1/4))
⇔ x_n = 1 + (1 - (-1/4)^{n - 1})・(4/5)
⇔ x_n = 9/5 -(4/5)・(-1/4)^{n - 1} ・・・（ク・ケ・コ・(0) サ）
(n = 1、2、3、・・・）


次に、自然数n に対してS_n = Σ [k:1 → n] k|y_n| を求めよう。
r = |-1/4| = 1/4
とおくと

|y_n| = |(-1/4)^{n - 1}| = (1/4)^{n - 1} = r^{n - 1}


S_n = 1・|y₁| + 2・|y₂| + ..... + (n - 1)・|y_{n - 1}| + n・|y_n|
S_n = 1 + 2r + ..... + (n - 1)r^{n - 2} + nr^{n - 1}
rS_n = r + 2r² + ..... + (n - 1)r^{n - 1} + nrⁿ

よって、
S_n - rS_n = 1 + r + ..... + r^{n - 1} - nrⁿ
S_n - rS_n = Σ [k:1 → n] r^{n - 1} - nrⁿ ・・・（シ・ス）
であり、したがって
(1 - r)S_n = (1 - rⁿ)/(1 - r) - nrⁿ
S_n = (1 - rⁿ)/(1 - r)² - nrⁿ/(1 - r)

r = 1/4 より
S_n = (1 - (1/4)ⁿ)/(1 - (1/4))² - n(1/4)ⁿ/(1 - (1/4))
S_n = (1 - (1/4)ⁿ)/(3/4)² - n(1/4)ⁿ/(3/4)
S_n = (16/4)・(1 - (1/4)ⁿ) - (n/3)・(1/4)^{n - 1} ・・・（セ・ソ・タ・チ・ツ・テ・ト・ナ）