プチ発見「素数判定プログラム」

自然数 n = 2x + 1 (x ≧ 0: x ∈ Z)
自然数 2x + 1 が奇素数なのかどうかを判定します。

自然数 2x + 1 が合成数ならば、２つの奇数の積になっているので、
2s + 1, 2t + 1 (s ≧ 0, t ≧ 0: s, t ∈ Z) を考えると

2x + 1 = (2s + 1)(2t + 1) とおくと
2x + 1 が奇素数ならば、(s, t) = (x, 0), (0, x) の整数解をもつ。
2x + 1 が合成数ならば、(s, t) = (x, 0), (0, x) 以外の整数解をもつ。

そうすると、整数解が「2つの場合」と「２つ以上の場合」の格子点の問題と命題を置きかえることが出来る。

2x + 1 = 4st + 2(s + t) + 1
⇔ x = 2st + s + t

⇔ (2t + 1)s = x - t
⇔ s = (x - t)/(2t + 1)

s は整数と、s = 0, s = x 以外に整数解をもつためには、1 ≦ s ≦ x - 1 の範囲を考える
よって、 1 ≦ (x - t)/(2t + 1) であるので

分子 = x - t = a
分母 = 2t + 1 = b

1 ≦ a / b ⇔ b ≦ a

b ≦ a の条件で、t = 1, 2, 3, ..... , x - 1 までに、(x - t)/(2t + 1) に代入する
それが整数になるならば、x は合成数である。
整数がなければ、x は奇素数である。
※1 ≦ t ≦ x - 1 に対して、(x - t) と (2t + 1) が互いに素であればよいが、その条件式が見つからない。

これを、ExcelのVBA で素数判定するプログラムで動かすと、素数 (2x + 1) の判定が出来る。


＜具体例＞
合成数 15 = 3・5
2x + 1 = 15 ⇔ x = 7
t = 1 のとき、x - t = 7 - 1 = 6, 2t + 1 = 2 + 1 = 3, 2 ≦ 6 なので、a / b = 6 / 3 = 2
よって、s = 2より
(s, t) = (2, 1) なので、2s + 1 = 4 + 1 = 5, 2t + 1 = 2 + 1 = 3

奇素数 17
2x + 1 = 17 ⇔ x = 8
t = 1 のとき、x - t = 8 - 1 = 7, 2t + 1 = 2 + 1 = 3, 3 ≦ 7 なので、a / b = 7 / 3
t = 2 のとき、x - t = 8 - 2 = 6, 2t + 1 = 4 + 1 = 5, 5 ≦ 6 なので、a / b = 6 / 5
t = 3 のとき、x - t = 8 - 3 = 5, 2t + 1 = 6 + 1 = 7, 7 ≧ 5 なので、s ＜ 1 より
x = 8 のとき、奇素数である。


＜個人的な感想＞
奇素数を格子点の問題に置き換えることが出来る点が、面白いと思う。
(x - t) と (2t + 1) が互いに素の条件式が見つかると面白いと思う。
ただ、メルセンヌ数を判定するのには、向いていないと思う。
また、私のような発想は過去に誰かがしていると思うが、私の知る範囲では見たことはないです。

相棒シーズン12（第２話：2013-10-23放送）

相棒で、数学をテーマにした架空の事件でした。

でも、どこが架空で、どこが本当なのか？
真実と架空が少し混ざっている内容でした。

証明に「背理法」はあります。
しかし、背理法の使い方が間違っています。

ファーガスの定理は、架空の定理なので、存在はしません。
しかし、ミレニアム問題が７つあり、賞金１００ドルが懸ってあることは、本当です。

リーマン予想が約150年間が未解決問題というのは、本当です。
また、リーマン予想と素数が関係がしていることは、本当です。

大きな素数、πなどの無理数が、暗証鍵に使われていることは、本当です。

「みんなの数学」という雑誌はありません。
「数学セミナー」という雑誌は本当にあります。

ファイルの一番右にファーガスの定理がありませんでした。
右京さんが左からファイルを読みました。
ファーガスの定理以外は、本当にある数学の分野です。
「ABC予想」も本当に、最近の京大の教授が予想しまして、現在、検証されている予想です。

教授の部屋に行って、透明なガラスにグラフが書かれていました。
あのグラフは、楕円関数論に出てくるグラフです。

素数が、数学の元素と言われていることは、本当です。
数学者で素数の研究をしているのは、本当ですが、色々な分野との関わりの中で研究していので、素数を単独で研究はしていないと思います。


普通に相棒を見たかったですが、至る所に数学関係の話があるので、奇妙な気分でドラマを見ました。

リーマン・ゼータ関数の個人的な研究

リーマン・ゼータ関数の個人的な研究

ζ(s) = Σ [n = 1 → ∞] n^-s (s ∈ C) 以下[n = 1 → ∞] は省略
ζ(s) = Σ n^-s (s ∈ C)

s ∈ C より s = a + ib とおくと
n^{-a - ib} = e^{(-a - ib)log(n)} = e^-alog(n)・e^-i・blog(n)

オイラーの公式 e^ix = cos(x) + i・sin(x) より

= e^-alog(n)・{cos(-blog(n)) + i・sin(-blog(n))}
= e^-alog(n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))}　・・・①


または、
s ∈ C より s = r(cos(α) + i・sin(α)) とおくと
n^{-(r(cos(α) + i・sin(α))log(n)} = e^{-rcos(α)log(n)}・e^{-i・rsin(α)log(n)}
= e^{-rcos(α)log(n)}・{cos(-rsin(α)log(n)) + i・sin(-rsin(α)log(n))}
= e^{-rcos(α)log(n)}・{cos(rsin(α)log(n)) - i・sin(rsin(α)log(n))}


リーマン予想だと s = 1/2 + ib なので、①より
ζ(1/2 + ib) = Σe^{-(1/2)・log(n)}・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))}
= Σe^-log(√n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))}

ζ(1/2 + ib) = Σe^-log(√n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))} = 0 となるのが予想ですね。

また、a = 2, b = 0 のとき
ζ(2) = Σe^-2・log(n) = π²/6

研究はここまで。

代数学について

代数学シリーズの３冊（雪江　朋彦先生）を読んでいます。

代数学は奥が深いことを改めて思いました。