数学の数論の『ABC予想』の論文が発表されました。
今後は、専門家による検証が行われます。
今後は、専門家による検証が行われます。
リーマン・ゼータ関数を研究をしました。
あまり、いい成果は出なかったですが、書いて残しておこうと思いました。
＜複素数＞
z = x + iy = r(cosθ + i・sinθ)
＜指数関数＞
w = ex + iy = ex・eiy = ex・{cos(y) + i・sin(y)}
※オイラーの公式より
＜一般の指数関数＞
ax +iy = ax・(elog(a))iy = ax・eiy・log(a)= ax・{cos(ylog(a)) + i・sin(ylog(a))}
******************************
＜関係式＞
z = ax +iy = ax・{cos(ylog(a)) + i・sin(ylog(a))} = U +iV
とおくと、次の２つの関係式が成り立つ
U2 + V2 = a2x ・・・①
U・sin(ylog(a)) = V・cos(ylog(a)) ・・・②
（証明）
U = ax・cos(ylog(a)), V = ax・sin(ylog(a))
U2 + V2 = a2x・cos2(ylog(a)) + a2x・sin2(ylog(a)) = a2x よって、①が成り立つ
ax・sin(ylog(a))・cos(ylog(a)) = U・sin(ylog(a)) = V・cos(ylog(a)) よって、②が成り立つ
******************************
＜複素数列＞
数列 {an} を考える
一般項 an = (1/n)x + iy = n-x - iy とおくと
また、an = n-x - iy = Un + iVn とおくと
関係式①、②より③、④が成り立つ
sin(-θ) = -sin(θ), cos(-θ) = cos(θ) より
Un2 + Vn2 = n-2x ・・・③
Un・sin(ylog(n)) + Vn・cos(ylog(n)) = 0 ・・・④
③、④より次の関係式が成り立つ
Un2 = n-2x・cos2(ylog(n)) ・・・⑤
Vn2 = n-2x・sin2(ylog(n)) ・・・⑥
（証明）
④より Un・sin(ylog(n)) = -Vn・cos(ylog(n)) ⇔ Un2・sin2(ylog(n)) = Vn2・cos2(ylog(n))
③よりUn2 = n-2x - Vn2
よって、(n-2x - Vn2)・sin2(ylog(n)) = Vn2・cos2(ylog(n)) ⇔ Vn2 = n-2x・sin2(ylog(n))
同様に、Vn2 = n-2x - Un2
Un2・sin2(ylog(n)) = (n-2x - Un2)・cos2(ylog(n)) ⇔ Un2 = n-2x・cos2(ylog(n))
******************************
＜リーマン・ゼータ関数＞
Σ = Σ (n = 1 → ∞) の略を意味する
ζ(s) = Σ n-s = 1 + 2-s + 3-s + 4-s + .....
上記の数列 {an} を用いれば、
ζ(s) = Σ an = Σ (Un + iVn) = Σ Un + i・Σ Vn ・・・⑦
よって、③、④、⑤、⑥、⑦が成り立つことが分かります。
******************************
＜リーマン予想＞
ζ(s) = Σ n-s = 1 + 2-s + 3-s + 4-s + .....
の時、Re(s) = 2-1 より x = 2-1 なので
③、④、⑤、⑥は次のように、⑧、⑨、⑩、⑪と書きなおせる
Un2 + Vn2 = n-1 ・・・⑧
Un・sin(ylog(n)) + Vn・cos(ylog(n)) = 0 ・・・⑨
Un2 = n-1・cos2(ylog(n)) ・・・⑩
Vn2 = n-1・sin2(ylog(n)) ・・・⑪
******************************
＜研究のまとめ＞
私の研究では、③、④、⑤、⑥、⑦になることが分かったまでです。
ζ(s) = 0 が零点なので、⑦の関係式より
ζ(s) = Σ Un + i・Σ Vn = 0 より
Σ Un = Σ Vn = 0 とだと分かります。
あまり、いい成果は出なかったですが、書いて残しておこうと思いました。
＜複素数＞
z = x + iy = r(cosθ + i・sinθ)
＜指数関数＞
w = ex + iy = ex・eiy = ex・{cos(y) + i・sin(y)}
※オイラーの公式より
＜一般の指数関数＞
ax +iy = ax・(elog(a))iy = ax・eiy・log(a)= ax・{cos(ylog(a)) + i・sin(ylog(a))}
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＜関係式＞
z = ax +iy = ax・{cos(ylog(a)) + i・sin(ylog(a))} = U +iV
とおくと、次の２つの関係式が成り立つ
U2 + V2 = a2x ・・・①
U・sin(ylog(a)) = V・cos(ylog(a)) ・・・②
（証明）
U = ax・cos(ylog(a)), V = ax・sin(ylog(a))
U2 + V2 = a2x・cos2(ylog(a)) + a2x・sin2(ylog(a)) = a2x よって、①が成り立つ
ax・sin(ylog(a))・cos(ylog(a)) = U・sin(ylog(a)) = V・cos(ylog(a)) よって、②が成り立つ
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＜複素数列＞
数列 {an} を考える
一般項 an = (1/n)x + iy = n-x - iy とおくと
また、an = n-x - iy = Un + iVn とおくと
関係式①、②より③、④が成り立つ
sin(-θ) = -sin(θ), cos(-θ) = cos(θ) より
Un2 + Vn2 = n-2x ・・・③
Un・sin(ylog(n)) + Vn・cos(ylog(n)) = 0 ・・・④
③、④より次の関係式が成り立つ
Un2 = n-2x・cos2(ylog(n)) ・・・⑤
Vn2 = n-2x・sin2(ylog(n)) ・・・⑥
（証明）
④より Un・sin(ylog(n)) = -Vn・cos(ylog(n)) ⇔ Un2・sin2(ylog(n)) = Vn2・cos2(ylog(n))
③よりUn2 = n-2x - Vn2
よって、(n-2x - Vn2)・sin2(ylog(n)) = Vn2・cos2(ylog(n)) ⇔ Vn2 = n-2x・sin2(ylog(n))
同様に、Vn2 = n-2x - Un2
Un2・sin2(ylog(n)) = (n-2x - Un2)・cos2(ylog(n)) ⇔ Un2 = n-2x・cos2(ylog(n))
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＜リーマン・ゼータ関数＞
Σ = Σ (n = 1 → ∞) の略を意味する
ζ(s) = Σ n-s = 1 + 2-s + 3-s + 4-s + .....
上記の数列 {an} を用いれば、
ζ(s) = Σ an = Σ (Un + iVn) = Σ Un + i・Σ Vn ・・・⑦
よって、③、④、⑤、⑥、⑦が成り立つことが分かります。
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＜リーマン予想＞
ζ(s) = Σ n-s = 1 + 2-s + 3-s + 4-s + .....
の時、Re(s) = 2-1 より x = 2-1 なので
③、④、⑤、⑥は次のように、⑧、⑨、⑩、⑪と書きなおせる
Un2 + Vn2 = n-1 ・・・⑧
Un・sin(ylog(n)) + Vn・cos(ylog(n)) = 0 ・・・⑨
Un2 = n-1・cos2(ylog(n)) ・・・⑩
Vn2 = n-1・sin2(ylog(n)) ・・・⑪
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＜研究のまとめ＞
私の研究では、③、④、⑤、⑥、⑦になることが分かったまでです。
ζ(s) = 0 が零点なので、⑦の関係式より
ζ(s) = Σ Un + i・Σ Vn = 0 より
Σ Un = Σ Vn = 0 とだと分かります。
以前書いた、周期を書きなおしました。
１．主要諸原理
＜周期の定義＞
ある複素数が周期であるとは、その実数と虚数が、有理数係数多項式の不等式で与えられる Rn 内の領域上での、有理数係数有利関数の絶対収束積分の値になっていることである。
＜例＞
π = ∫∫dxdy ( x2 + y2 ≦ 1 )
ζ(3) = ∫∫∫(1-x)-1y-1z-1dxdydz ( 0 ＜ x ＜ y ＜ z ＜ 1 )
＜原理１＞
新しい数と出会い、そしてそれが超越的であったなら、それが周期かどうかを計算してみようと試みよ。
＜予想１＞
ある周期が二つの積分表示を持つならば、関数や積分領域が￢Q係数で代数的である場合の法則のみで一方から他方へ変形できる。
＜原理２＞
二つの実数が一致すると予想し、それを証明したいなら、まず、それらを周期として表そうと試みよ（原理１）。
そして、法則によって一方を他方に変形しようと試みよ。
２．周期と微分方程式
＜事実１＞
f(z) を重さ k ＞ 0 の（正則または有理型）保型形式とし、t(z) を保型関数とする。
そのとき、F(t(z)) = f(z) により定義された多価関数 F(t) は代数的係数を持つ k + 1 階線型微分方程式をみたす。
＜事実２＞
f(z) を重さ k ＞ 0 の保型形式、t(z) を保型関数とし、共に￢Q 上定義されているとする。
そのとき、t(z0) が代数的になる任意の z0 ∈ G に対し、f(z0) は ^P に属する。
３.周期とL-関数
L-関数
(i) L-関数は ΠpPp(p-s)-1 の形のオイラー積を持つ。
ここで、積はすべての素数 p をわたる。
また、Pp(T) は（代数的）整数係数を持つ固定された次数 n （次数が下がっている有限個の p は除く）の多項式であり、それは標数 p の有限体上の数論的対象のふるまいをある方法で述べている。
(ii) L-関数は（s の整数値において、有限個の極のみを持ち）有理型関数に解析接続できること、そして、ある正整数 k に対して L*(s) = ±L*(k - s) の形の関数等式を持つことが（知られているか）予想されている。
ここで、AsΠj = 1nΓ(1/2・(s + αj)) (A ＞ 0, αj ∈ Z) という形の”ガンマ因子" γ(s) に対して、L*(s) = γ(s)L(s) である。
より一般的に、関数等式は、L1*(s) = ωL2*(k - s) の形をしていると思われる。
ここで、L1 と L2 はガロア表現とその反傾のような双対的な数論的対象の L-関数であり、ω は絶対値 1 の代数的数である。
しかしこれから挙げる例では L1 と L2 は常に一致する。
(iii) L-関数は局所的リーマン予想、すなわち、Pp(p-s) の零点は直線 R(s) = (k - 1) / 2 上にある、を（みたすか）みたすと予想される
(iv) L-関数は体域的リーマン予想、すなわち、L(s) の零点は整数か直線 R(s) = k / 2 上にある、をみたすであろうと予想される。
(v) L-関数は s の整数値において、周期と関連がある興味深い特殊値を持つ。
＜予想＞
L(s) をモチーフ的 L-関数、m を任意の整数、そして、r を s = m における L(s) の零点の位数とする。
そのとき L(r)(m) ∈ ^P。
＜定理＞
f を ￢Q 上定義された重さ k ≧ 2 の保型形式とする。
そのとき、すべての m ≧ k に対し(0 ≦ m ≦ k の臨界値に対しても同様に） L(f, m) ∈ ^P となる。
＜系＞
Q(x1, ... , xn) を Q 係数の偶数個の変数を持つ正定値二次形式とする。
ζQ(s) = ∑' 1 / Q(x1, ... , xn)s （x1, ... , xn ∈ Z)
のすべての整数 s ＞ n / 2 での値は ^P に属す。
＜定理＞
f を偶数の重さ k のヘッケ固有形式とし、L*(f, s) = -L*(f, k - s) とする。
そのとき、L'(f, k / 2 ) ∈ ^P。
＜予想＞
ρ: Gal(￢Q / Q) → GL(n, ￢Q)
を絶対ガロア群の表現で
ρ（複素共役） = -1→n × n
なるものとする。
周期から、いろいろな数の性質が発見されるのですね！
１．主要諸原理
＜周期の定義＞
ある複素数が周期であるとは、その実数と虚数が、有理数係数多項式の不等式で与えられる Rn 内の領域上での、有理数係数有利関数の絶対収束積分の値になっていることである。
＜例＞
π = ∫∫dxdy ( x2 + y2 ≦ 1 )
ζ(3) = ∫∫∫(1-x)-1y-1z-1dxdydz ( 0 ＜ x ＜ y ＜ z ＜ 1 )
＜原理１＞
新しい数と出会い、そしてそれが超越的であったなら、それが周期かどうかを計算してみようと試みよ。
＜予想１＞
ある周期が二つの積分表示を持つならば、関数や積分領域が￢Q係数で代数的である場合の法則のみで一方から他方へ変形できる。
＜原理２＞
二つの実数が一致すると予想し、それを証明したいなら、まず、それらを周期として表そうと試みよ（原理１）。
そして、法則によって一方を他方に変形しようと試みよ。
２．周期と微分方程式
＜事実１＞
f(z) を重さ k ＞ 0 の（正則または有理型）保型形式とし、t(z) を保型関数とする。
そのとき、F(t(z)) = f(z) により定義された多価関数 F(t) は代数的係数を持つ k + 1 階線型微分方程式をみたす。
＜事実２＞
f(z) を重さ k ＞ 0 の保型形式、t(z) を保型関数とし、共に￢Q 上定義されているとする。
そのとき、t(z0) が代数的になる任意の z0 ∈ G に対し、f(z0) は ^P に属する。
３.周期とL-関数
L-関数
(i) L-関数は ΠpPp(p-s)-1 の形のオイラー積を持つ。
ここで、積はすべての素数 p をわたる。
また、Pp(T) は（代数的）整数係数を持つ固定された次数 n （次数が下がっている有限個の p は除く）の多項式であり、それは標数 p の有限体上の数論的対象のふるまいをある方法で述べている。
(ii) L-関数は（s の整数値において、有限個の極のみを持ち）有理型関数に解析接続できること、そして、ある正整数 k に対して L*(s) = ±L*(k - s) の形の関数等式を持つことが（知られているか）予想されている。
ここで、AsΠj = 1nΓ(1/2・(s + αj)) (A ＞ 0, αj ∈ Z) という形の”ガンマ因子" γ(s) に対して、L*(s) = γ(s)L(s) である。
より一般的に、関数等式は、L1*(s) = ωL2*(k - s) の形をしていると思われる。
ここで、L1 と L2 はガロア表現とその反傾のような双対的な数論的対象の L-関数であり、ω は絶対値 1 の代数的数である。
しかしこれから挙げる例では L1 と L2 は常に一致する。
(iii) L-関数は局所的リーマン予想、すなわち、Pp(p-s) の零点は直線 R(s) = (k - 1) / 2 上にある、を（みたすか）みたすと予想される
(iv) L-関数は体域的リーマン予想、すなわち、L(s) の零点は整数か直線 R(s) = k / 2 上にある、をみたすであろうと予想される。
(v) L-関数は s の整数値において、周期と関連がある興味深い特殊値を持つ。
＜予想＞
L(s) をモチーフ的 L-関数、m を任意の整数、そして、r を s = m における L(s) の零点の位数とする。
そのとき L(r)(m) ∈ ^P。
＜定理＞
f を ￢Q 上定義された重さ k ≧ 2 の保型形式とする。
そのとき、すべての m ≧ k に対し(0 ≦ m ≦ k の臨界値に対しても同様に） L(f, m) ∈ ^P となる。
＜系＞
Q(x1, ... , xn) を Q 係数の偶数個の変数を持つ正定値二次形式とする。
ζQ(s) = ∑' 1 / Q(x1, ... , xn)s （x1, ... , xn ∈ Z)
のすべての整数 s ＞ n / 2 での値は ^P に属す。
＜定理＞
f を偶数の重さ k のヘッケ固有形式とし、L*(f, s) = -L*(f, k - s) とする。
そのとき、L'(f, k / 2 ) ∈ ^P。
＜予想＞
ρ: Gal(￢Q / Q) → GL(n, ￢Q)
を絶対ガロア群の表現で
ρ（複素共役） = -1→n × n
なるものとする。
周期から、いろいろな数の性質が発見されるのですね！
ディオファントス方程式を最新の数学では研究対象であることが分かりました。
初めはディオファントス方程式の定義を知らずに読んでいて、後で調べたら、「整数および変数の定数乗の加減乗算からなる方程式」がディオファントス方程式だと分かりました。
ピタゴラスの定理、ペル方程式などもディオファントス方程式なんですね！
いろいろと調べると楽しいです。 なるほどと思います。
初めはディオファントス方程式の定義を知らずに読んでいて、後で調べたら、「整数および変数の定数乗の加減乗算からなる方程式」がディオファントス方程式だと分かりました。
ピタゴラスの定理、ペル方程式などもディオファントス方程式なんですね！
いろいろと調べると楽しいです。 なるほどと思います。
数学の最先端 ２１世紀への挑戦のVolume 1 - Volume 6 まで全６巻を購入しました。
最新の数学の研究を知りたかったので、とても嬉しいです。
しかし、2001年の論文を訳しているので、８年前の論文のようです。
８年前でも、最先端の数学を理解が出来ないまでも、垣間見ることはとても、嬉しい限りです。
楽しく読みたいと思います。
最新の数学の研究を知りたかったので、とても嬉しいです。
しかし、2001年の論文を訳しているので、８年前の論文のようです。
８年前でも、最先端の数学を理解が出来ないまでも、垣間見ることはとても、嬉しい限りです。
楽しく読みたいと思います。
今日は、デパートの本屋さんに行きました。
少しだけ色々な専門書が置いてあるので、ちらと見ました。
なんと・・・。
「数学の最先端 ２１世紀への挑戦 volume 6」が置いてありました。
なので、即購入しました。
ざっとしか、読んでいませんが、「定理」ではなくて「予想」と書いてあってやはり最先端の研究なんだなぁと感じました。
読んでみて、何となくは分かるけど・・・という感じです。
大学卒業をしていないから、すべてがきちんと分かる訳ではないけど。
こんな問題を数学者は考えているのだなぁと断片でも知ることは、楽しいです。
見ているだけで、何かワクワクします。
少しだけ色々な専門書が置いてあるので、ちらと見ました。
なんと・・・。
「数学の最先端 ２１世紀への挑戦 volume 6」が置いてありました。
なので、即購入しました。
ざっとしか、読んでいませんが、「定理」ではなくて「予想」と書いてあってやはり最先端の研究なんだなぁと感じました。
読んでみて、何となくは分かるけど・・・という感じです。
大学卒業をしていないから、すべてがきちんと分かる訳ではないけど。
こんな問題を数学者は考えているのだなぁと断片でも知ることは、楽しいです。
見ているだけで、何かワクワクします。
最近の数学の最先端は、どんな研究をするのでしょうか？
大学の数学科の教授に教えて欲しいと思います。
また、どんなことをすれば、数学の最先端の勉強が出来るのでしょうか？
大学の数学科の教授に教えて欲しいと思います。
また、どんなことをすれば、数学の最先端の勉強が出来るのでしょうか？