平均値の定理におけるθの極限値

１．まえがき

　　あるサイトに平均値定理
　　　　f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh) (0＜θ＜1)　　　 ・・・・・・・・・・・①

　　において、h→0としたとき。f''が連続で、f''(a)≠0ならば、θ→1/2　であることが示されていた。
　　その概略は f(a+h)とf’(a+θh)に平均値の定理を使って展開すると(0＜θ,θ₂＜1として)

　　　　f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)= f(a)+h(f'(a)+ θ h f''(a+θθ₂ h)) ・・・②
　　f(a+h)をテイラー展開して

　　　　f(a+h)=f(a)+hf'(a)+(h²/2)f''(a+θ₀ h) (0＜θ₀＜1) ・・・・・・③
　　となる。➁③から h≠0 として

　　　　θ=(1/2) f''(a+θ₀h)/ f''(a+θθ₂h)
　　となり、θ→1/2(h→0)となることがわかる。

２．一般化

　　上の命題で f''(a)=0 の場合を一般化は手以下の命題を証明する。

　［命題］ n≧2、f^(n)(x) を連続で、f^(n)(a)≠0 かつ、f^(i)(a)=0(2≦i≦n-1)とする。
　　　このとき、①において、
　　　　　θ→(1/n)^(1/(n-1)) (h→0)
　　　となる。

　［証明］まず、f(a+h)をn次まで、テイラー展開すると

　　　　　f(a+h)=f(a)+hf'(a)+(h²/2!)f⁽²⁾(a)+…+(hⁿ/n!)f⁽ⁿ⁾(a+θ₁h)
　　　　　　　　=f(a)+hf'(a)+(hⁿ/n!)f⁽ⁿ⁾(a+θ₁h)
　　　となる。つぎに、f'(a+θh)を(n-1)次まで、テイラー展開すると

　　　　　f’(a+θh)=f’(a)+θhf⁽²⁾(a)+((θh)²/2!)f⁽³⁾(a)+…+((θh)ⁿ⁻¹/(n-1)!)f⁽ⁿ⁾(a+θ₂θh)
　　　　　　　　　　=f’(a)+((θh)ⁿ⁻¹/(n-1)!)f⁽ⁿ⁾(a+θ₂θh)
　　　となる。

　　　この両式を①に代入してまとめると
　　　　　(hⁿ/n!)f⁽ⁿ⁾(a+θ₁h)= ((θⁿ⁻¹hⁿ)/(n-1)!)f⁽ⁿ⁾(a+θ₂θh)
　　　　　θ=(1/n)^(1/(n-1)) (f⁽ⁿ⁾(a+θ₁h)/ f⁽ⁿ⁾(a+θ₂θh))^(1/(n-1))

　　　これにより、h→0のとき、結論を得る。

３．例

　・f(x)=xまたは定数のときθは不定。（f⁽²⁾=f⁽³⁾=・・・=0 のため、ここの結論は使用不可）
　・f(x)=x² のとき、θ=1/2。

　・f(x)=xⁿ (n≧3)のとき、上に述べたように、x≠0でθ→1/2。x=0でθ=(1/n)^(1/(n-1))
　・f(x)=sin(x)のとき、f''(x)=-sin(x)だからx≠mπ(m=0,±1,…)でθ→1/2。
　　　　　x=mπ(m=0,±1,…)のとき、f⁽³⁾(x)=-cos(x) で f⁽³⁾(mπ)≠0だから、θ→1/√3。

以上