平面上の曲線の捩れ率は0であるのは自明とも思えるがあえて証明してみる。
平面の式は 平面上の位置ベクトルをr、pを定ベクトルとして
r・p=定数・・・・・・①
となる。
この平面上の曲線を、弧長パラメータsを使って r(s) として、①を微分すれば、tを接線単位ベク
トルとして
t・p=0・・・・②
もう一度微分して、nを主法線単位ベクトル、κ(≠0 とする)を曲率として
κn・p=0 → n・p=0・・・・③
となる。
ここで、従法線単位ベクトルを b (=t×n) とすると、公式と②③から
p×b=p×(t×n)=(p・n)t-(p・t)n=0
となる。
つまり、pとbは平行。つまり、bの方向はpと同じで一定。さらにbは単位ベクトルだから、bは
定ベクトルとなる。すると捩れ率τは
τ=-db/ds・n=0
となる。
以上
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