円リングに一様に分布した電荷によるリング中心の電位

１．まえがき

　半径 Rの円リング上に電荷 q[C/m] が一様に分布している。このとき、円リング中心の電位を
　求める問題があった。

２．計算

　点電荷 Qによる電位で、電荷から Rだけ離れた位置の電位はよく知られたように
　　　U=Q/4πε₀R
　となる。

　このとき、円リング状の線素 ds上の電荷 qds による円リング中心の電位は無限遠から円
　の中心までの経路を考えると（例えば、図の(B') → (B) に向かう経路）
　　　dU=qds/4πε₀R
　となる。これを全周にわたって積分すると円リング上の電荷による中心の電位となるから
　　　U=∲qds/4πε₀R=(q/4πε₀R)∲ds=(q/4πε₀R)2πR=q/2ε₀
　となる。