平均値の定理におけるある関数の c の求め方

1. まえがき

　微分可能な関数 f(x)=x³-3x に対する、平均値の定理 {f(a+h)-f(a)}/h=f'(c) (a＜c＜a+h)
　において、c を求める問題があった。これを解いてみた。

　計算すると c=±√(a²+ah+h²/3) となります。c の存在は保証されているが、この複数の候
　補の確定が問題の本質になる。

2. 計算

　まず、c=±√(a²+ah+h²/3) では、a²+ah+h²/3=(a+h/2)²+h²/12＞0 なので c は必ず存在す
　る。ここで、改めて、c=√(a²+ah+h²/3) (＞0) と置く。すると、解の候補は ±c となる。

　c=√{a²+h(a+h/3)}・・・・・・・①
　c=√{(a+h)²-h(a+2h/3)}　・・・②
　と変形できる。以下では、h, c＞0 および -c＜c に注意する。

　(a) まず、①により、a+h/3＜0 (a＜-h/3＜0)ならば、c＜|a|=-a すなわち、a＜-c となる。
　　　つぎに、②により、a+2h/3＞0 (a+h＞h/3＞0)ならば、c＜|a+h|=a+h となる。
　　　つまり、-2h/3＜a＜-h/3 ならば a＜-c＜c＜a+h であり、±c の2つが解となる。

　(b) つぎに、a+h/3≧0 のとき、①により、　c≧|a| つまり、-c≦a≦c となり、-c は解
　　　ではない。平均値の定理より、解の存在は保証されているから、それは c 以外にない
　　　(a＜c＜a+h の証明はできるが、その議論をしなくてもよい)。

　　　つまり、a≧-h/3 のとき、解は c のみ。

　(c) 同様に、a+2h/3≦0 のとき、②により、 c≧|a+h| つまり、 -c≦a+h≦c となり、
　　　 c は解ではなく、解は -c 以外にない。つまり、a≦-2h/3 のとき、解は -c のみ。

3.補足

　上の(b) において、不要ではあるが　a＜c＜a+h を証明する。　a+h/3≧0 のとき
　c=√(a²+ah+h²/3) =√{(a+h/2) ²+h²/12)＞|a+h/2|=a+h/2>a (a+h/2＞a+h/3≧0 )

　a+2h/3≧h/3＞0 だから、h(a+2h/3)＞0 なので、②により、
　　c＜|a+h|=a+h　(a+h＞a+h/3≧0)

以上