数列 a[n+1]=A+C/(B+a[n]) , a₁>0 の収束の証明

1.　まえがき

　前回、数列 a_n+1=2a+(1/a_n) , a₁=2a （a≠0）の問題について述べたが、もっと一般的な問
　題があったのを思いだした。それは
　　　 a_n+1=A+(C/(B+a_n)) , a₁ > 0 （A, B≧0 ; C > 0, A+B > 0, n≧1）　・・・①
　の収束を証明する問題だった。
　
2.　計算の方針

　これも振動する数列であるが、前回のような手順を使うと計算が面倒になる。そこで、
　載っていた書籍の方法（これも面倒ではあるが）に沿って行う。

3.　計算

　3.1　数列の有界性

　　A, B≧0 ;  a₁, C > 0 だから、帰納的に、
　　　　　a_n > 0　・・・・・・・・・・・・②
　　は自明。 すると C/(B+a_n) > 0 だから、a_n+1 > A となり、さらにこれを使うと
　　　　a_n+2=A+(C/(B+a_n+1)) < A+(C/(B+A))
　　となり、まとめると
　　　　A < a_n+2 < A+(C/(B+A))
　　を得る。したがって、極限の判定には n+2 → n と番号を付け替えれば
　　　　A < a_n < A+(C/(B+A))　(n≧1)　・・・・・③
　　としても一般性は失わない。つまり、a_n は有界である。

　3.2　数列の単調性

　　この数列が x に収束すると仮定すると、a_n→x として　x=A+C/(B+x)
　　→ x=( A-B+√{(A-B)²+4(AB+C)} )/2 を得る。勿論、収束すれば、その値は②から0以上
　　なので
　　　　x=( A-B+√{(A-B)²+4(AB+C)} )/2　(>0)　・・・・・・・・④
　　となる。なお
　　　　A < x < A+(C/(B+A))　・・・・・・・・・・・・⑤
　　の範囲にあることは簡単に計算できる。

　　以上のことから、a_n+1=a_n となるのは a_n=x の時のみだから、
　　　　a_n≠x ならば、a_n+1≠a_n 　・・・・・・・・・・・・⑥
　　である。

　　つぎに、この数列の性質を調べる。まず、C/(B+a_n-1)=a_n-A だから
　　　　a_n+1-a_n =C/(B+a_n)-C/(B+a_n-1)=C(a_n-1-a_n)/{ (B+a_n)(B+a_n-1) }
　　　　　　　  = -{ (a_n-A)/(B+a_n) }(a_n-a_n-1)　・・・・・・⑦
　　となる。ここで、➂から、{ }内は正である。同様に
　　　　a_n+2-a_n =C/(B+a_n+1)-C/(B+a_n-1)=C(a_n-1-a_n+1)/{ (B+a_n+1)(B+a_n-1) }
　　　　　　　  = -{ (a_n-A)/(B+a_n+1) }(a_n+1-a_n-1)
　　となる。この式をもう一段使って次数を下げると
　　　　a_n+2-a_n ={ (a_n-1-A)/(B+a_n) }{ (a_n-A)/(B+a_n+1) }(a_n-a_n-2)　・・・・⑧
　　を得る。同様に { }内は正である。さらに➆を使うと
　　　　a_n+2-a_n =(a_n+2-a_n+1)+(a_n+1-a_n)= -{ (a_n+1-A)/(B+a_n+1) }(a_n+1-a_n)+(a_n+1-a_n)
　　　　　　　  ={ 1-(a_n+1-A)/(B+a_n+1) }(a_n+1-a_n)　・・・・・・・・・⑨
　　となる。A+B > 0、B+a_n > 0 だから、0 < (a_n+1-A)/(B+a_n+1) < 1 なので、{ }内も0より
　　大きく、1より小さい。

　　さて、a_n=x ならば、xに収束することは自明だから、⑥により a₁≠a₂の場合を調べれ
　　ばよい。そこで a₁ < a₂ と仮定すると⑨により、a₃ > a₁ となる。すると、⑧により、
　　a_n-a_n-2 > 0 と仮定すると、a_n+2-a_n > 0 がなりたち、帰納的に 任意の奇数nについて
　　a_n+2-a_n > 0 がなりたつ。つまり、単調増加数列となる。

　　さらに、a₁ < a₂ と⑦から、a₃-a₂ < 0 となり、⑨から、a₄-a₂ < 0 を得る。⑧により、
　　a_n-a_n-2 < 0 と仮定すると、a_n+2-a_n < 0 がなりたち、帰納的に 任意の偶数nについて
　　a_n+2-a_n < 0 がなりたつ。つまり、単調減少数列となる。

　　初期値が、a₁ > a₂ と仮定しても偶奇列によって、単調性の方向が異なるだけで同じ議
　　論ができる。いずれにしても、この数列は偶数列か奇数列に限ると単調数列であるこ
　　とがわかる。

　3.3　収束値の唯一性

　　単調な有界数列は収束するから、奇数列と偶数列の極限値をそれぞれ、x,y とし①で
　　n → ∞（nは奇数または偶数）とすると
　　　　x=A+C/(B+y) , y=A+C/(B+x)　・・・・・・・・⑩
　　をえる。これから、
　　　　x-y=C{1/(B+y)-1/(B+x)}=C(x-y)/{(B+y)(B+x)} → (x-y){ 1-C/(B+y)(B+x) }=0　・・・⑪
　　を得る。ここで⑩の前者を使うと
　　　　1-C/(B+y)(B+x)=1-(x-A)/(B+x)=(A+B)/(B+x)
　　となるが、A+B>0 だから、⑪を満たすものは x=y のみとなる。ゆえに、この数列はた
　　だ１つの値➃に収束する。

4.　あとがき

　A,B,a₁ の値についてはもう少し自由度がありそうだが面倒なのでやめる。

以上