1. まえがき
数列 an+1=2a+(1/an) , a₁=2a （a≠0）の収束を証明する問題があった。一般的な方法が
使えず、以前見知った方法をによった。
つまり、有界な振動数列の場合、この奇数列と偶数列に分けて考え、いずれもが単調数
列となるとき、収束が言える。
2. 準備計算
a < 0 のときは bn=-an と置くと元の数列は bn+1=2(-a)+(1/bn) , b₁=2(-a) （-a >0）とな
って a > 0 と仮定してもかまわない。
3. 計算
3.1 数列の有界性
a > 0 だから、帰納的に、
an > 0 ・・・・・・・・・・・・①
は自明。 また
an+2=2a+(1/an+1)=2a+1/(2a+1/an)=2a+an/(1+2aan) ・・・・②
であるが、２番目の式で 1/an+1>0、最後の式で、(1+2aan) > 2aan だから
2a < an+2 < 2a+(1/2a)
を得る。また、a₁=2a, a₂=2a+(1/2a) なので
2a≦an≦2a+(1/2a)
となる。つまり、an は有界である。
3.2 nの偶奇による数列の範囲
この数列が x に収束すると仮定すると、an→x として x=2a+1/x → x=a±√(a²+1) を
得る。ここで、
x=a+√(a²+1) ( > 0) ・・・・・・・・・・・③
x'=a-√(a²+1) ( < 0) ・・・・・・・・・・・④
とおく。勿論、収束すれば、その値は①から0以上なので x となり
2a < x < 2a+(1/2a) ・・・・・・・・・・・⑤
の範囲にあることは簡単に計算できる。そして、
an < x （nは奇数）・・・・・・・・・・⑥
an > x （nは偶数）・・・・・・・・・・⑦
を証明する。
まず、x=2a+1/x から
an+2 -x=2a-x+1/an+1=-1/x+1/an+1=-(an+1-x)/(xan+1)
となり、(an+1-x) にもう一段この式を使い次数を下げると
an+2 -x=-(an+1-x)/(xan+1)=(an-x)/(x²anan+1)
となる。すると an < x を仮定すると
an+2 -x < 0
をえる。⑤から a₁=2a < x であり、帰納的に、⑥を得る。つぎに、an > x と仮定する
と同様に an+2 -x > 0 が得られ、⑤から a₂=2a+(1/2a) > x なので、帰納的に⑦を得る。
3.3 数列の単調性と収束
まず②➂➃から
an+2 - an =2a+an/(1+2aan)-an =2a(1+2aan-an²)/(1+2aan)
=-2a(an-x)(an-x')/(1+2aan) ・・・・・⑧
となる。右辺で (an-x') > 0 だから、この式の正負は (an-x) によって決まる。nの偶奇に
よって、⑥⑦が成立つから、⑧は
an+2 - an > 0 （nは奇数） ⇒ 単調増加
an+2 - an < 0 （nは偶数） ⇒ 単調減少
を得る。
したがって、この数列の有界性と合わせて、an （nは奇数か偶数の場合）は収束する。
つぎに、nが偶奇の時の収束値をそれぞれ x, y とすると元の式で、nを奇数として
n → ∞ とすると
x=2a+1/y ・・・・・・・・・・・・・・・・⑨
nを偶数として n → ∞ とすると
y=2a+1/x
となるから、
(x-y)(1-1/xy)=0 ・・・・・・・・・・・・・・⑩
を得る。このとき⑨から
1-1/xy=1-(1/x)(x-2a)=2a/(x-2a)
となるかが、a>0 だから⑩の解は x=y しかない。ゆえに、この数列はただ１つの値➂
に収束する。
4. あとがき
振動数列の場合、収束値 xとの差が0になることで収束を調べる方法がある。
|an+1 -x|=|a-√(a²+1)+1/an|=|-1/{a+√(a²+1)}+1/an|=|-1/x+1/an|
=|an-x|/(xan)<(1/4a²)|an-x| <・・・< (1/4a²)ⁿ|a1-x| （x, an > 2a なので）
となるから、a > 1/2 ならば、an → x が言えるが、a≦1/2 の場合は分からない。
以上
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