（1010）『パースの法則』と「連言除去」。

―「昨日（令和０３年１１月０８日）の記事」を補足します。―
（01）
「原始的規則（10 primitive rules）」並びに、
「含意の定義、ド・モルガンの法則、分配の法則、冪等律」を用ひて、次の「連式」を証明せよ。
（Ｐ→Ｑ）→Ｐ┤├ Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）
〔解答〕
（ⅰ）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ　　　　１含意の定義
１　　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　　２含意の定義
　２　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　Ａ
　２　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　２　（６）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　７（８）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　７∨Ｉ
１　　（９）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　１２６７８∨Ｅ
１　　（ア）（Ｐ∨Ｐ）＆（～Ｑ∨Ｐ）　９分配法則
１　　（イ）　Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　　ア＆Ｉ
１　　（ウ）　　　Ｐ　　　　　　　　　イ冪等律
１　　（エ）　　　　　　（～Ｑ∨Ｐ）　ア＆Ｅ
１　　（オ）　　　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　ウエ＆Ｉ
（ⅱ）
１　　（１）　　　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　Ａ
１　　（２）　　　　Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　２冪等律
１　　（４）　　　　　　（～Ｑ∨Ｐ）　１＆Ｅ
１　　（５）（Ｐ∨Ｐ）＆（～Ｑ∨Ｐ）　３４＆Ｉ
１　　（６）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　５分配法則
　７　（７）　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　Ａ
　７　（８）　　～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　７ド・モルガンの法則
　７　（９）　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　８含意の定義
　７　（ア）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　９∨Ｉ
　　イ（イ）　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　イ（ウ）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　イ∨Ｉ
１　　（エ）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　６７アイウ∨Ｅ
１　　（オ）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　エ含意の定義
（02）
「含意の定義、ド・モルガンの法則、分配の法則、冪等律」を用ひずに、
「原始的規則（10 primitive rules）」だけを用ひて、次の「連式」を証明せよ。
（ⅰ）
１　　　　　　　（１）　　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２　　　　　　（２）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　Ａ
　　３　　　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　　４　　　　（４）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　３４　　　　（５）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　３４＆Ｉ
　２３４　　　　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　２５＆Ｉ
　２３　　　　　（７）　　　　　～～Ｑ　　　　　　４６ＲＡＡ
　２３　　　　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　　　　７ＤＮ
　２　　　　　　（９）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　３８ＣＰ
１２　　　　　　（ア）　　　　　　　　　　Ｐ　　　１９ＭＰＰ
１　　　　　　　（イ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ　　　２アＣＰ
　　　　ウ　　　（ウ）　～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝　　Ａ
　　　　　エ　　（エ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　　エ　　（オ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　エ∨Ｉ
　　　　ウエ　　（カ）　～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝　　ウオ＆Ｉ
　　　　ウ　　　（キ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　　　（ク）　　　　　　　　　　Ｐ　　　イキＭＰＰ
１　　　ウ　　　（ケ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　ク∨Ｉ
１　　　ウ　　　（コ）　～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝　　イケ＆Ｉ
１　　　　　　　（サ）～～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝　　ウコＲＡＡ
１　　　　　　　（シ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　サＤＮ
　　　　　　ス　（ス）　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　　　ス　（セ）　　　　Ｐ　　　　　　　　　ス＆Ｅ
　　　　　　ス　（ソ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　セ＆Ｅ
　　　　　　ス　（タ）　　　　　　～Ｑ∨Ｐ　　　　ソ∨Ｉ
　　　　　　ス　（チ）　　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　　　セタ＆Ｉ
　　　　　　　ツ（ツ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　　　　　ツ（テ）　　　　　　　～Ｑ∨Ｐ　　　ツ∨Ｉ
　　　　　　　ツ（ト）　　　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　　ツテ＆Ｉ
１　　　　　　　（ナ）　　　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　　シスチツト∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　　　　　　　　（１）　　　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　　Ａ
１　　　　　　　　　　（２）　　　　Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　　　　　　　　（３）　　　　　　　～Ｑ∨Ｐ　　　１＆Ｅ
　４　　　　　　　　　（４）　　　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ
１４　　　　　　　　　（５）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　２４＆Ｉ
１４　　　　　　　　　（６）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　５∨Ｉ
　　７　　　　　　　　（７）　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　７　　　　　　　　（８）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　７∨Ｉ
１　　　　　　　　　　（９）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　１４６７８∨Ｅ
　　　ア　　　　　　　（ア）　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　イ　　　　　　（イ）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　ア　　　　　　　（ウ）　　　　Ｐ　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　アイ　　　　　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　イウＭＰＰ
　　　ア　　　　　　　（オ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　ア＆Ｅ
　　　アイ　　　　　　（カ）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　エオ＆Ｉ
　　　ア　　　　　　　（キ）　　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　アカＲＡＡ
　　　ア　　　　　　　（ク）　　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　キ∨Ｉ
　　　　　ケ　　　　　（ケ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　　　ケ　　　　　（コ）　　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　ケ∨Ｉ
１　　　　　　　　　　（サ）　　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　１アクケコ∨Ｅ
　　　　　　シ　　　　（シ）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　Ａ
　　　　　　　ス　　　（ス）　　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　　　シ　　　　（シ）　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　シ＆Ｅ
　　　　　　シス　　　（セ）～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ）　　スシ＆Ｉ
　　　　　　　ス　　　（ソ）　～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　シセＲＡＡ
　　　　　　　　タ　　（タ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　　　　シ　　　　（チ）　　　　　　　　　～Ｐ　　　シ＆Ｅ
　　　　　　シ　タ　　（ツ）　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　タチ＆Ｉ
　　　　　　　　タ　　（テ）　～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　シツＲＡＡ
１　　　　　　　　　　（ト）　～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　サスソタテ∨Ｅ
　　　　　　　　　ナ　（ナ）　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　ニ（ニ）　　　　　　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　　　　　　ナニ（ヌ）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　ナニ＆Ｉ
１　　　　　　　　ナニ（ネ）　～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　トヌ＆Ｉ
１　　　　　　　　ナ　（ノ）　　　　　　　　～～Ｐ　　　ニネＲＡＡ
１　　　　　　　　ナ　（ハ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　ノＤＮ
１　　　　　　　　　　（ヒ）　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　ナハＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
②　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）
に於いて、
①＝② であるが、この「等式」を、「定理α」とする。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）
１（１）　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１（２）　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　　１定理α
１（３）　　Ｐ　　　　　　　　　２連言除去
　（４）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１３ＣＰ
（ⅱ）
１（１）　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　　　　Ａ
１（２）　Ｐ　　　　　　　　　　　１連言除去
　（３）（Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ））→Ｐ　１２ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
「連言除去」により、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ））→Ｐ
といふ「論理式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ））→Ｐ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（Ｐであって（ＱでないかＰ））ならばＰである。
といふ「日本語」は、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｐ＝日本人
Ｑ＝男性
であるとして、
①（（日本人ならば男性）ならば日本人）ならば日本人である。
②（日本人であって（男性でないか日本人））ならば日本人である。
といふ「日本語」は、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（09）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
従って、
（06）～（09）により、
（10）
① パースの法則
②（日本人であって（男性でないか日本人））ならば日本人である。
は、両方とも、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（11）
②（日本人であって（男性でないか日本人））であって、外国人である。
といふことは、有り得ないが故に、
②（日本人であって（男性でないか日本人））ならば日本人である。
といふことは、「当然」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
① パースの法則
②（日本人であって（男性でないか日本人））ならば日本人である。
は、両方とも、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② であって、尚且つ、
② は、明らかに、「真」である。
従って、
（12）により、
（13）
① パースの法則
も、当然、「真」である。