（28）「同一性」の「is（である）」について。

（01）
１　　　　（１）　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　（２）　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　（３）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　（４）　～Ｐ　　　　　　＆Ｅ
　２３　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
　　　７　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　７　（９）　～Ｑ＆　Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　２３６７ア∨Ｉ
　　　ウ　（ウ）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　　エ（エ）　　　　　～Ｑ　　Ａ
　　　ウエ（オ）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　ウエ（カ）　　～Ｐ＆～Ｑ　　ウエ
１　　ウエ（キ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　～Ｐ＆～Ｑ　　イカ＆Ｉ
１　　ウ　（ク）　　　　～～Ｑ　　エキＲＡＡ
１　　ウ　（ケ）　　　　　　Ｑ　　ウＤＮ
１　　　　（コ）　　～Ｐ→　Ｑ　　オケＣＰ
（02）
１　（１）～Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２（２）～Ｐ＆～Ｑ　Ａ
　２（３）～Ｐ　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　～Ｑ　２＆Ｅ
１２（５）　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ
１２（６）　～Ｑ＆Ｑ　４５＆Ｉ
１　（７）　　～～Ｑ　２６ＲＡＡ
１　（８）　　　　Ｑ　７ＤＮ
１　（９）　Ｐ∨　Ｑ　８∨Ｉ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 　Ｐ∨Ｑ＝ＰかＱである。
② ～Ｐ→Ｑ＝ＰでないならばＱである。
に於いて、
①＝② である。
（04）
１　　（１）～Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）～Ｐ　　　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｑ　Ａ
１２　（４）　　　　Ｑ　１２ＭＰＰ
１２３（５）～Ｑ＆　Ｑ　３４＆Ｉ
１　３（６）～～Ｐ　　　２５ＲＡＡ
１　３（７）　　Ｐ　　　６ＤＮ
１　　（８）～Ｑ→　Ｐ　３７ＣＰ
（05）
１　　（１）～Ｑ→　Ｐ　Ａ
　２　（２）～Ｑ　　　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　Ａ
１　３（４）　　　　Ｐ　１２ＭＰＰ
１２３（５）～Ｐ＆　Ｐ　３４＆Ｉ
１　３（６）～～Ｑ　　　２５ＲＡＡ
１　３（７）　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）～Ｐ→　Ｑ　３７ＣＰ
従って、
（04）（05）により、
（06）
② ～Ｐ→Ｑ＝ＰでないならばＱである。
③ ～Ｑ→Ｐ＝ＱでないならばＰである。
に於いて、
②＝③ である。
ｃｆ.
対偶（Contraposition）。
従って、
（03）（06）により、
（07）
① 　Ｐ∨Ｑ＝ＰかＱである。
② ～Ｐ→Ｑ＝ＰでないならばＱである。
③ ～Ｑ→Ｐ＝ＱでないならばＰである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）
① ＰかＱである（ＰでないならばＱである）が、Ｐでない。従って、Ｑである。
② ＰかＱである（ＱでないならばＰである）が、Ｑでない。従って、Ｐである。
に於いて、
① は、「推論」として「正しく」、
② も、「推論」として「正しい」。
従って、
（08）により、
（09）
① ＡかＢが犯人である。Ａは犯人ではない。従って、Ｂが犯人である。
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
に於いて、
① は、「推論」として「正しく」、
② も、「推論」として「正しい」。
然るに、
（10）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② 犯人は一人だけしかゐなくて、Ａがその犯人である。
といふことに、他ならない。
従って、
（10）により、
（11）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② Ａ is a 犯人．
ではなく、
② Ａ is the 犯人.
である。といふことに、他ならない。
然るに、
（12）
In non-mathematical contexts, identity is expressed usually by 'is' ; but since the verb 'to be' has many sense, we must indicate first in which sense 'is' expresses identity.
Consider the six English sentences below.
（１）Socrates is a philosopher.
（２）Paris is a city.
（３）Courage is a virtue.
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I admire most.
(E.J.Lemmonn, Begining Logic, 1971, p160）
然るに、
（13）
（１）Socrates is a philosopher.
（２）Paris is a city.
（３）Courage is a virtue.
に於ける、
（１）Socrates is
（２）Paris is
（３）Courage is
を、「is of predication（述語の is）」と言ふ。
（14）
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I admire most.
に於ける、
（４）Socrates is
（５）Paris is
（６）Courage is
を、「is of identity（同一性の is）」と言ふ。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② Ａ is a 犯人．
ではなく、
② Ａ is the 犯人.
であって、
② Ａ is the 犯人.
に於ける、
② 　 is
は、「is of identity（同一性の is）」である。
然るに、
（16）
② Ａ is the 犯人.
に於ける、
② 　 is
が、「is of identity（同一性の is）」である。
といふことは、
② Ａ ＝ the 犯人．
といふことに、他ならない。
然るに、
（17）
② Ａ ＝ the 犯人．
といふことは、
② The 犯人 ＝ Ａ.
といふことに、他ならない。
従って、
（16）（17）により、
（18）
② Ａ is the 犯人.
② Ａ ＝ the 犯人．
といふことは、
② The 犯人 is Ａ.
② The 犯人 ＝ Ａ.
といふことに、他ならない。
従って、
（15）～（18）により、
（19）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② The 犯人 is Ａ.
といふこと、すなはち、
② 犯人はＡである。
といふことに、他ならない。
従って、
（19）により、
（20）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② Ａが犯人である。
② 犯人はＡである（The 犯人 is Ａ）。
といふことに、他ならない。
然るに、
（21）
② ＡかＢが犯人である。Ｂは犯人ではない。従って、Ａが犯人である。
といふことは、
② Ａ以外は犯人でない。
といふことに、他ならない。
従って、
（20）（21）により、
（22）
② Ａが犯人である。
③ 犯人はＡである。
④ Ａ以外は犯人でない。
に於いて、
②＝③＝④
でなければ、ならない。
従って、
（23）
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
に於いて、
②＝③＝④
でなければ、ならない。
然るに、
（24）
「逆」には、
（１）真でないときと、
（２）真であるときがあります。
そこで（１）と（２）をひっくるめて、「逆は必ずしも真ならず」といいます（山下正男、論理的に考えること、1985年、１３・１４頁）。
従って、
（24）により、
（25）
① ＡはＢである。
③ ＢはＡである。
に於いて、必ずしも、
①＝③ であるとは、限らない。
従って、
（23）（25）により、
（26）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
に於いて、必ずしも、
①＝② ではないが、必ず、
　　②＝③＝④ である。
従って、
（26）により、
（27）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
④ Ａ以外はＢでない。
の場合は、
（Ⅰ）①、②、③、④ の、「四つとも、ウソ」であるか、
（Ⅱ）①、②、③、④ の、「①だけが、本当」であるか、
（Ⅲ）①、②、③、④ の、「四つとも、本当」であるか。
の「いづれか」で、なければならない。
然るに、
（28）
① パリは日本である。
② パリが日本である。
③ 日本はパリである。
④ パリ以外は日本ではない。
に於いて、
① は、「ウソ」である。
② も、「ウソ」である。
③ も、「ウソ」である。
④ も、「ウソ」である。
然るに、
（29）
① 中野は日本である。
② 中野が日本である。
③ 日本は中野である。
④ 中野以外は日本ではない。
に於いて、
① は、「本当」である。
② は、「ウソ」である。
③ も、「ウソ」である。
④ も、「ウソ」である。
（30）
① パリはフランスの首都である。
② パリがフランスの首都である。
③ フランスの首都はパリである。
④ パリ以外はフランスの首都ではない。
に於いて、
① は、「本当」である。
② も、「本当」である。
③ も、「本当」である。
④ も、「本当」である。