（723）『ド・モルガンの、馬の頭』の「述語論理（私の翻訳）」。

（01）
「何々の」というのも重視したいものである。
　すべての馬が動物であれば、馬の頭は動物の頭である。（ド・モルガンの例）。
というようなものに備えて、「何々の」に対しても敏感であることが望ましい。
（三上章、日本語の論理、1963年、３８頁）
（02）
ド・モルガンが明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名な、また簡単な論証がある。
（１）すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６７頁）
（03）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３人の対象」から成る世界を仮定する。
従って、
（03）により、
（04）
１（01）　　　Ｆａ　　Ａ
１（02）∀ｘ（Ｆｘ）　１ＵＩ
といふ「計算」は、
１（01）　　　Ｆａ　　　　Ａ
１（02）Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ　１ＵＩ
といふ「計算」に、「等しい」。
従って、、
（04）により、
（05）
１（01）　　　男ａ　　Ａ
１（02）∀ｘ（男ｘ）　１ＵＩ
といふ「計算」は、
１（01）　　　男ａ　　　　Ａ
１（02）男ａ＆男ｂ＆男ｃ　１ＵＩ
といふ「計算」に、「等しい」。
然るに、
（03）により、
（06）
１（01）　　　男ａ　　　　Ａ
１（02）男ａ＆男ｂ＆男ｃ　１ＵＩ
といふ「計算」は、
１（01）ａは男である。従って、
１（02）すべての人間は男である。
といふ、「意味」である。
然るに、
（07）
１（01）トランプ大統領が男性である。からと言って、
１（02）すべての人間が、男性である。といふわけではない。
従って、
（03）～（07）により、
（08）
１（01）　　　Ｆａ　　Ａ
１（02）∀ｘ（Ｆｘ）　１ＵＩ
といふ「計算」は、「マチガイ（誤謬）」である。
然るに、
（09）
１（１）　　　男ａ　　　　　Ａ
　（２）　　　男ａ→男ａ　　１１ＣＰ
　（３）∀ｘ（男ｘ→男ｘ）　２ＵＩ
然るに、
（10）
　―「含意の定義」の証明 ―
（ⅰ）
１　　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３　（５）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　４∨Ｉ
　２３　（６）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２５＆Ｉ
　２　　（７）　　～～Ｐ　　　　　３６ＲＡＡ
　２　　（８）　　　　Ｐ　　　　　７ＤＮ
１２　　（９）　　　　　　Ｑ　　　１８ＭＰＰ
１２　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　９∨Ｉ
１２　　（イ）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２ア＆Ｉ
１　　　（ウ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２イＲＡＡ
１　　　（エ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　ウＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（10）により、
（11）
① 　Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（11）により、
（12）
① 　男ａ→男ａ
② ～男ａ∨男ａ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（09）（12）により
（13）
① ∀ｘ（　男ｘ→男ｘ）
② ∀ｘ（～男ｘ∨男ｘ）
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（03）（13）により、
（14）
① ∀ｘ（　男ｘ→男ｘ）
② ∀ｘ（～男ｘ∨男ｘ）
といふ「論理式」は、
①（　男ａ→男ａ）＆（　男ｂ→男ｂ）＆（　男ｃ→男ｃ）
②（～男ａ∨男ａ）＆（～男ａ∨男ｂ）＆（～男ｃ∨男ｃ）
といふ「論理式」に「等しい」。
然るに、
（03）（14）により、
（15）
①（　男ａ→男ａ）＆（　男ｂ→男ｂ）＆（　男ｃ→男ｃ）
②（～男ａ∨男ａ）＆（～男ａ∨男ｂ）＆（～男ｃ∨男ｃ）
といふ「論理式」は、
① すべての人は、男であるならば、男である。
② すべての人は、女であるか、または、男である。
といふ、「意味」である。
然るに、
（16）
① すべての人は、男であるならば、男である。
② すべての人は、女であるか、または、男である。
といふ「命題」は、明らかに、「恒に真（トートロジー）」である。
従って、
（09）～（16）により、
（17）
１（１）　　　男ａ　　　　　Ａ
　（２）　　　男ａ→男ａ　　１１ＣＰ
　（３）∀ｘ（男ｘ→男ｘ）　２ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
１（１）　　　男ａ　　　　　Ａ
　（２）　　　男ａ→男ａ　　１１ＣＰ
　（３）∀ｘ（男ｘ→男ｘ）　２ＵＩ
に対する、「代入例（ＳＩ）」として、
１（１）　　　　馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　（２）　　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　１１ＣＰ
　（３）∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝　２ＵＩ
といふ「計算」も、「妥当」である。
然るに、
（19）により、
（20）
① ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」は、
① すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは馬であって、あるｙがｘの頭である）｝。
といふ「意味」である。
然るに、
（21）
① すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは馬であって、あるｙがｘの頭である）｝。
といふことは、
① 馬の頭は、馬の頭である。
といふことである。
従って、
（21）により、
（22）
① すべてのｘについて｛（ｘが馬であって、あるｙがｘの頭である）ならば、（ｘは動物であって、あるｙがｘの頭である）｝。
といふのであれば、
① 馬の頭は、動物の頭である。
といふことになる。
従って、
（20）（21）（22）により、
（23）
② 動＝動物
として、
① ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
② ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
に於いて、
① 馬の頭は、　馬の頭である。
② 馬の頭は、動物の頭である。
といふ、ことになる。
従って、
（02）（12）（23）により、
（24）
１（１）　　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　　Ａ
　（２）　　　（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　１１ＣＰ
　（３）∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝　２ＵＩ
といふ「計算」と、
１（１）∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　Ａ
といふ「連式」から、
② ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」が、「導出」できるならば、
（１）すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は動物の頭である。
（〃）All horses are animals; Therefore all horses's heads are animals' heads.
といふ「論証の妥当性」が、「証明」されたことになる。
然るに、
（25）
□□□　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝
１　　（１）  ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　  Ａ
　２　（２）　　  （馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　 　 Ａ
　２　（３）　　　　　　  ∃ｙ頭ｙａ　　　　　　　　　　　　 　 ２＆Ｅ
　２　（４）　　　　馬ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ２＆Ｅ
１　　（５）　　　  馬ａ→動ａ　　　　　　　　　　　　　　　　  １ＵＥ
１２　（６）　　　　　　　動ａ　　　 　　　　　　　　　　　　 　４５ＭＰＰ
１２　（７）　　　（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　　　　　　　　　　　　３６＆Ｉ
１　　（８）　　　　馬ａ＆∃ｙ頭ｙａ）→（動ａ＆∃ｙ頭ｙａ）　　２７ＣＰ
１　　（９）∀ｘ｛（馬ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）→（動ｘ＆∃ｙ頭ｙｘ）｝　８ＵＩ
然るに、
（26）
１２３　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
１　　（１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　 　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　　馬ｂ＆頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　 　Ａ
　　３（４）　　　　　　馬ｂ　　　　　　 　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３（５）　　　　　　　　　頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（６）　　　　　　馬ｂ→動ｂ　　　 　　　　　　　　　　　　１ＵＥ
１　３（７）　　　　　　　　　動ｂ　　　　　　　　　　　　　　　 ４６ＭＰＰ
１　３（８）　　　　　　動ｂ＆頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　５７＆Ｉ
１　３（９）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　８ＥＩ
１２　（ア）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　２３９ＥＥ
１　　（イ）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　 ２アＣＰ
１　　（ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ 　イＵＩ
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６７頁）
従って、
（25）（26）により、
（27）
「E.J.レモンの証明」よりも、「私の証明」の方が、「３行」だけ「短い」し、少なくとも、私自身にとっては、どちらかと言へば、「私の証明」の方が、「E.J.レモンの証明」よりも、「分かり易い」。