（1216）「強選言（排他的選言）」と「弱選言（両立的選言）」と「選言三段論法」（Ⅲ）。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　～（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
１　　（２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆　（Ｑ→Ｐ）｝　１Ｄｆ.⇔
１　　（３）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　２ド・モルガンの法則
　４　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　４　（５）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　４含意の定義
　４　（６）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
　４　（７）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　６∨Ｉ
　　８（８）　　　　　　　　～（Ｑ→Ｐ）　　Ａ
　　８（９）　　　　　　　～（～Ｑ∨Ｐ）　　８含意の定義
　　８（ア）　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　９ド・モルガンの法則
　　８（イ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　ア∨Ｉ
１　　（ウ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　１４７８イ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　Ａ
　２　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　２ド・モルガンの法則
　２　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　３含意の定義
　２　（５）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　Ａ
　　６（７）　　　　　　　～（～Ｑ∨Ｐ）　　６ド・モルガンの法則
　　６（８）　　　　　　　　～（Ｑ→Ｐ）　　７含意の定義
　　６（９）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　８∨Ｉ
１　　（ア）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　１２５６９∨Ｅ
１　　（イ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆　（Ｑ→Ｐ）｝　ア、ド・モルガンの法則
１　　（ウ）　～（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　　　イＤｆ.⇔
従って、
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ⇔ Ｑ）
② 　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　Ａ
　２　（２）　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）　　　～Ｑ　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（６）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　　　５∨Ｉ
　２　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　　６ド・モルガンの法則
　２　（８）　（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　４７＆Ｉ
　　９（９）　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　Ａ
　　９（ア）　　　　　　　　Ｑ　　　　　９＆Ｅ
　　９（イ）　　　　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　ア∨Ｉ
　　９（ウ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　９＆Ｅ
　　９（エ）　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　ウ∨Ｉ
　　９（オ）　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　エ、ド・モルガンの法則
　　９（カ）　（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　イオ＆Ｉ
１　　（キ）　（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　１２８９カ∨Ｅ
（ⅲ）
１　　　　（１）　（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　Ａ
１　　　　（２）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　　（３）　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　１＆Ｅ
　４　　　（４）　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　５　　（５）　　　　　　　　　　　Ｑ　　Ａ
　４５　　（６）　　　　　　　　　Ｐ＆Ｑ　　４５＆Ｉ
１４５　　（７）　～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ）　３６＆Ｉ
１４　　　（８）　　　　　　　　　　～Ｑ　　５７ＲＡＡ
１　　　　（９）　　　　　　　　Ｐ→～Ｑ　　４８ＣＰ
　　　ア　（ア）　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
１　　ア　（イ）　　　　　　　　　　～Ｑ　　９アＭＰＰ
１　　ア　（ウ）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　アイ＆Ｉ
１　　ア　（エ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　ウ∨Ｉ
　　　　オ（オ）　　　　Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　～～Ｑ　　　　　　　　　オＤＮ
１　　　オ（キ）　　　　　　　～Ｐ　　　　　９カＭＰＰ
１　　　オ（ク）　　　　Ｑ＆～Ｐ　　　　　　オキ＆Ｉ
１　　　オ（ケ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　ク∨Ｉ
１　　　　（コ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　１アエオケ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③（Ｐ∨  Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
（05）
（ⅲ）
１　　（１）　　（Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
１　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）～～（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　　　　２ＤＮ
１　　（４）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
　５　（５）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　６（６）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　５６（７）　（～Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　５６＆Ｉ
１５６（８）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆（～Ｐ＆～Ｑ）　３７＆Ｉ
１５　（９）　　　　～～Ｑ　　　　　　　　　　６８ＤＮ
１５　（ア）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　９ＤＮ
１　　（イ）　　～Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　　５アＣＰ
１　　（ウ）　　　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　　１＆Ｅ
１　　（エ）　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　ウ、ド・モルガンの法則
１　　（オ）　　　　　　　　　　Ｐ→～Ｑ　　　エ含意の定義
１　　（カ）　　（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
（ⅳ）
１　　（１）　　（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）　　Ａ
１　　（２）　　　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　　２含意の定義
１　　（４）　　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　　３ＤＮ
１　　（５）　　　　　　　　　　Ｐ→～Ｑ　　　１＆Ｅ
１　　（６）　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　５含意の定義
１　　（７）　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　６ド・モルガンの法則
１　　（８）　　　（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　　４７＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
③（Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
④（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）（06）により、
（07）
① ～（Ｐ⇔　Ｑ）
②　 （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③　 （Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
④ 　（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、すなはち、
①（ＰとＱの「真偽」が一致する）ことはない。
②（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
③（Ｐか、またはＱである）が、（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
④（ＰでないならばＱであり）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
に於いて、
①＝②＝③＝④である。
然るに、
（08）
日本語の接続詞「あるいは」には、両立的選言（弱選言）と排他的選言（強選言）の二つの意味があることに注意してほしい。

　― 中略 ―
論理学の「・・・あるいは・・・」は両立的選言に取り決めてある。それは論理学の体系がよりシンプルなものになるからである。
とりわけ、∨を両立的選言の方に決めておけば、
排他的選言の方は∨と＆と～によって簡単に表現できる―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―。
選言記号∨に対応する日本語には、「または」「もしくは」「・・・か・・・」などがある。
（昭和堂入門選書２５、論理学の基礎、1994年、１１頁改）
従って、
（07）（08）により、
（09）
① ～（Ｐ⇔　Ｑ）
②　 （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③　 （Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
④ 　（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、すなはち、
①（ＰとＱの「真偽」が一致する）ことはない。
②（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
③（Ｐか、またはＱである）が、（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
④（ＰでないならばＱであり）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
に於いて、
① は「排他的選言（強選言）」であって、
② も「排他的選言（強選言）」であって、
③ も「排他的選言（強選言）」であって、
④ も「排他的選言（強選言）」である。
然るに、
（10）
「Ｐ∨Ｑ」は、「両立的選言（弱選言）」であって、
「Ｐ▽Ｑ」は、「排他的選言（強選言）」であるとする。
従って、
（09）（10）により、
（11）
（ⅰ）
１　（１）　　Ｐ▽Ｑ　　　　　　　　　Ａ
１　（２）（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）　１Ｄｆ.▽
１　（３）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
１２（５）　　　　Ｑ　　　　　　　　　３４ＭＰＰ
（ⅱ）
１　（１）　　Ｐ∨Ｑ　Ａ
１　（２）～～Ｐ∨Ｑ　１ＤＮ
１　（３）　～Ｐ→Ｑ　２含意の定義
　４（４）　～Ｐ　　　Ａ
１４（５）　　　　Ｑ　３４ＭＰＰ
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ▽Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
② Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ
といふ「推論」は、両方とも、「妥当」である。
然るに、
（13）
① Ｐ▽Ｑ，Ｐ├ ～Ｑ
② Ｐ∨Ｑ，Ｐ├ ～Ｑ
に於いて、
① は、「選言三段論法」であって、
② も、「選言三段論法」である。
従って、
（08）（09）（13）により、
（14）
①「（排他的）選言三段論法」は「妥当」であって、
②「（両立的）選言三段論法」も「妥当」である。
然るに、
（15）
日常的な言語では、「ＡまたはＢ」という言葉は、ＡとＢが両方真となる包含的論理和（inclusive disjunction, or）と、
いずれか一方が真でいずれか一方が偽となる排他的論理和（exclusive disjunction, xor）が区別されていないことがあります。
選言三段論法が妥当となるときは、後者、排他的論理和として「または」を使っているときに限られることがわかりますね。
（趣味の数学）
従って、、
（08）（15）により、
（16）
選言三段論法が妥当となるときは、後者、排他的論理和（選言）として「または」を使っているときに限られることがわかりますね。
といふ「説明」は、「マチガイ」である。
（17）
① ～（Ｐ⇔　Ｑ）
②　 （Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③　 （Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
④ 　（～Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→～Ｑ）
に於いて、すなはち、
①（ＰとＱの「真偽」が一致する）ことはない。
②（Ｐであって、Ｑでない）か、または（Ｑであって、Ｐでない）。
③（Ｐか、またはＱである）が、（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
④（ＰでないならばＱであり）、（Ｐであるならば、Ｑでない）。
といふ「（４通リの）排他的選言（の定義）」に於いて、
① は「真理値表」を見れば、確かに、さうであって、「排他的選言」の「意味」からすれば、
② が「１番、分かり易い」ものの、「命題計算」の際には、
④ が「１番、扱い易い」。