オイラーの見た夢

メインの話題は、ゼータ関数です。

＜ゼータ関数＞
ζ(s)
= ∑n^-s
= 1 + 2^-s + 3^-s + ...
= 1 + 1/2^s + 1/3^s + ...

ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + ... = -1/12
複素数まで考えて、解析接続をすれば、ζ(-1) = -1/12 となるようです。
※解析接続の意味はよく知りません。
※解析接続についてを読みましたが、なんとなくしか分かりません。

現在、知られている最大の素数は、2008年8月23日に発見されています。
メヌセンス素数（2ⁿ - 1 の形）
2^43112609 - 1 （1297万8189桁）

ζ(-1)
= 1 + 2 + 3 + ... = -1/12
ζ(-2)
= 1 + 2² + 3² + ... = 0
ζ(-3)
= 1 + 2³ + 3³ + ... = 1/120
ζ(-4)
= 1 + 2⁴ + 3⁴ + ... = 0
※ s の負の偶数は、ζ(s) = 0 になることは知られている。

数学者リーマンは、ゼータ関数である予想をしました。
リーマン予想：ζ(s) の虚の零点の実部はすべて 1/2 であろう。

ヒルベルトの２３の問題の１つにリーマン予想（第８問題）があります。
ところで、ヒルベルト２３の問題は、現在はどれだけ解かれているのでしょうか？
私は、簡単な解説書を持っているので、２３の問題は知っていますが、どれだけ解かれているのでしょうか？

※ご指摘があったので、１部内容を修正しています。