数学の最先端

今日は、デパートの本屋さんに行きました。
少しだけ色々な専門書が置いてあるので、ちらと見ました。
なんと・・・。
「数学の最先端　２１世紀への挑戦　volume 6」が置いてありました。
なので、即購入しました。

ざっとしか、読んでいませんが、「定理」ではなくて「予想」と書いてあってやはり最先端の研究なんだなぁと感じました。

読んでみて、何となくは分かるけど・・・という感じです。
大学卒業をしていないから、すべてがきちんと分かる訳ではないけど。
こんな問題を数学者は考えているのだなぁと断片でも知ることは、楽しいです。

見ているだけで、何かワクワクします。

大学受験の時

今から１８年前の大学受験の時。

高校は県でも下のレベルの高校であった。
しかし、数学だけは特化していたので、得意であった。

中２の時には、整関数の積分はすでに、理解していた。
大学受験の時の微分方程式は、変数分離形しか出ないと言われていたが、その変数分離形の意味が分からなかった。

逆に、大学１年で習う微分方程式すら知っていたので、頭が混乱をしていた。
同次形、１階線形微分方程式などである。

変数分離形は、dx、dy(f(x)dx = f(y)dy) に単純に分ける微分方程式だとは、大学を卒業後、独学で微分方程式を学んだ後であった。

今では笑話である。

代数多様体

代数多様体の双有理分類をめざして
代数多様体について

代数多様体というと、広中平祐教授が「代数多様体における特異点の解消」よりフィールズ賞を受賞したことが懐かしいです。

大学への数学

毎年、４、５月だけは、大学への数学を購入しています。
それは、大学入試の問題が掲載されているからです。

実は購入しているだけで、あまり解いていませんが・・・。
でも、大学入試の傾向が分かるので、面白いです。

正直に言いますと、大学入試は落とすための入試なので、あまり数学の面白さがある問題が出ることはないです。

それよりは、数学オリンピックの問題の方が、色々なアイデアで考えながら解くので、発想、考え方などが面白いです。

オイラーの見た夢

メインの話題は、ゼータ関数です。

＜ゼータ関数＞
ζ(s)
= ∑n^-s
= 1 + 2^-s + 3^-s + ...
= 1 + 1/2^s + 1/3^s + ...

ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + ... = -1/12
複素数まで考えて、解析接続をすれば、ζ(-1) = -1/12 となるようです。
※解析接続の意味はよく知りません。
※解析接続についてを読みましたが、なんとなくしか分かりません。

現在、知られている最大の素数は、2008年8月23日に発見されています。
メヌセンス素数（2ⁿ - 1 の形）
2^43112609 - 1 （1297万8189桁）

ζ(-1)
= 1 + 2 + 3 + ... = -1/12
ζ(-2)
= 1 + 2² + 3² + ... = 0
ζ(-3)
= 1 + 2³ + 3³ + ... = 1/120
ζ(-4)
= 1 + 2⁴ + 3⁴ + ... = 0
※ s の負の偶数は、ζ(s) = 0 になることは知られている。

数学者リーマンは、ゼータ関数である予想をしました。
リーマン予想：ζ(s) の虚の零点の実部はすべて 1/2 であろう。

ヒルベルトの２３の問題の１つにリーマン予想（第８問題）があります。
ところで、ヒルベルト２３の問題は、現在はどれだけ解かれているのでしょうか？
私は、簡単な解説書を持っているので、２３の問題は知っていますが、どれだけ解かれているのでしょうか？

※ご指摘があったので、１部内容を修正しています。

数学者の夢

オイラーの見た夢／無限和の夢
代数多様体の双有理分類をめざして
微分幾何と他分野との狭間で見えるもの
７次方程式の解法を夢見た数学者フェリックス・クライン
可積分系だって現在数学である
万物の幾何学へかける夢
ゲーテルの夢
終わりなき旅
人や社会を数理モデルで研究すること
カルタンの夢
が数学セミナーの記事のタイトルです。

数学セミナーを読みました。
現在は、「７次方程式の解法を夢見た数学者フェリックス・クライン」を途中まで読んでいるところです。

「数学の最先端　２１世紀への挑戦」が１～６巻まで発売されているようですね！
こんな本があると欲しくなります。

改めて見ると、このような記事を読むとワクワクする感じです。
数学は楽しいなぁ・・・。

数学セミナー

数学セミナーの４月号を購入しました。
「数学者の見た夢」だそうです。
楽しみです。

円周率

円周率π = 3.14159265358979.....
までは、記憶しています。

小５で習いますね！
円周率 = 3.14 と教わりました。

中学から、円周率をπと表現するようになります。

πの定義は、直径１の円周の長さとしました。
※半径１の面積が定義ではありません。

近似値を求める方法は、円に「内接する n角形」と「外接する n角形」辺の長さを求める方法です。
円に「内接する n角形」をL₁
円に「外接する n角形」をL₂
とすると
L₁ ＜ π ＜ L₂ となります。

5角形で考えてみると、5sin36° ＜ π ＜ 5tan36°
sin36° = 0.5878
tan36° = 0.7265
よって、　2.9390 ＜ π ＜ 3.6325

同様にn角形では、n・sin(180°/ n) ＜ π ＜ n・tan(180° / n)

では、20角形を考えてみましょう！
20・sin9° ＜ π ＜ 20・tan9°
20・0.1564 ＜ π ＜ 20・0.1584
3.128 ＜ π ＜ 3.168

正確にπを求める方法はないのでしょうか？
それは、マチンの級数が有名です。
π = 16arctan(1 / 5) + 4arctan(1 / 239)

他に求め方は、色々と発見されています。
プログラムでは、このマチンの級数を使って求めることが出来ます。

πは無理数であることが分かりました。
無理数でも、特別な無理数で超越数があります。
√2 は無理数です。　しかし、x² = 2 の解ですね！
n次方程式の解にならない無理数を、超越数と言います。
πは超越数であることが分かりました。

高校の数学

高校までの数学は、古典数学と言われています。
公式自体は、そんなに難しいことはないです。
※ひねった問題はたくさんありますけど・・・。

中学からは、文字の計算を行います。
※その文字にどんな数字を入れても成り立つ意味ですね！

それから、未知数を求める、１次方程式、２元１次方程式、２次方程式を中学で扱います。

関数とは、x の値に対して、y の値が定まるのことを関数と言います。
一般形は、y = f(x) と表現されます。
y = 2x - 1、y = 2x²などと表現しますね！

厳密には集合Aを集合Bに写像fをすることの１部が関数です。
B = f(A)と書いた方が分かりやすいと思います。
集合論の表現では 「f : A → B」 と表現します。

でも、これらは古典数学なので、１７世紀以前にはすでに分かっている事実でした。

大学の数学

どなたか、大学で行う数学を教えて頂けないですか？
また、大学院で行う数学を教えて頂けないしょうか？

最先端の数学を知りたいのですが、ネットではどんな言葉をキーワードで探せば良いか分かりません。

よろしくお願い致します。

過ぎ去る日々

仕事を休職したのは、2006/05/23です。
仕事を退職したのは、2008/02/28です。

休職してから、２年９か月です。
退職してから、１年です。

甲状腺（バセドウ病）、うつ病、睡眠障害で悩まされて、現在も無職です。
途中には、無呼吸症候群、糖尿病でも悩まされました。
甲状腺のブログ


数学を勉強する時間もあったので、大学の数学の教科書を勉強しました。
知り合いに、大学の数学の教科書を紹介して頂きましたが、殆どが本屋さんで購入していました。

微分積分、線形代数、解析学、代数学入門などの本をざっと読みました。
※解析学（微分方程式、ベクトル解析、複素変数の関数、フーリエ級数・ラプラス変換）
※代数学入門（群、環、体）

教科書以外では、代数幾何入門の本も読みました。
※代数幾何入門（射影空間・射影多様体、代数曲線）

他にも少しは、読みました。


数学は今でも、大好きです。
大学を中退しなければ、数学の先生（中・高・大学）でもしたいです。
予備校の講師でも良いかなぁ・・・！？

しかし、私は大学を中退なので、職員免許を持っていないので数学の先生は成れないと思います。

体の治療に専念したいと思います。

東京大学（数学）

読売新聞（大学入試速報）

東京大学：数学（理系）を見てみました。

[１]は、整数と２項係数の問題でした。
[２]は、行列、極限、数列の融合問題でした。
[３]は、確率の問題でした。
[４]は、空間図形と極限と積分の融合問題でした。
[５]は、微分の問題でした。
[６]は、座標とベクトルと図形の融合問題でした。

東京大学の前期の問題は、標準問題の融合問題が多い傾向があります。
しかし、標準問題と言っても型に、はまった解き方ではなく、数学的な理論的な考え方で解く問題が多いです。

洞察力と思考力が問われる問題が多いです。

大学入試なので、解くのに処理が多い問題を出す傾向があります。
こういう部分は、時間との戦いですね！


東京大学の後期の問題は、さらに解くのに処理が多い問題になります。
そして、思考力より洞察力が問われる問題が多いと思います。

過去問を解いて、慣れることが大事だと思います。

受験生の方へ

高校受験、大学受験の皆さんへ

今の時期は、過去問をすることをお薦めします。
また、数学が苦手な方には、教科書の問題を解くことをお薦めします。


ときどき、チャットより質問を受ける場合があります。
質問自体は構いませんが、曖昧な質問は止めてください。

例えば、中２の証明問題ですが、どんな問題が出るのですか？
証明問題は、三角形、平行四辺形などがあります。
また、中・高一貫の学校では、中２の時に中３の因数分解をしている所も、あることも事実です。

私の知り合いの進学校の内容を教えて頂いたところ、高２には、すでに高３の内容をすべて終えてると聞きました。
２年で３年間分の内容をするそうです。　３年は、大学受験に備えるようです。

いつも、聞いていて質問をするならば、答えようがありますが、突然に曖昧な質問を受けても、相手のレベルが分からないのに、適切なアドバイスは出来ないです。

よろしくお願いします。

大学入試

読売新聞（大学入試速報）

早稲田大学[基幹、創造、先進理工学部]より

「Ⅰ」と「Ⅳ」は、数学的な思考力を問う問題なので、類似の過去問はないです。
ガウス記号、図形の測量を数学的な論理思考を用いて、解く問題です。

「Ⅱ」の行列の問題を見ると、単純な計算問題ですね！
※特に、技術的なことは使用していません。　個有値、行列の数列などの問題のことです。

y = 1 なので、x = t とおく事だけに気付けば全然、難しくありませんね！
x = (t, 1)

l₂ : t = Ax
l₃ : u = A^-1x

(1)は、求めた結果に対して、t を消去するだけですね！
(2)は、(1)で求めた結果を連立方程式を解くだけです。
(3)は、三角形の公式の（底辺）*（高さ）/ 2 より求められます。
(4)は、分数の微分をして、増減を求めるだけです。

これは、教科書問題なので、落とせない問題ですね！

「Ⅴ」は、微分積分です。
少し形が複雑ですが、教科書をきちんと解いていれば解ける問題です。
(1)は、グラフを微分の増減で書けること。
(2)は、xで積分をしているので、tを定数として扱うこと。
(3)は、はさみうちの原理を利用すること。

全体的に、計算量が多いのでミスをしないよう注意する問題ですね！

複雑系について

nanaponさんより「複雑系」を取り上げていました。

===== nanaponさんのコメント =====
>本当に複雑系について知りたいのかな？
と言われると困りますが、猿でもわかるくらいには興味あります。

と言うことで、複雑系のイメージについて書きたいと思います。

＜学問から社会へ＞
数学の研究⇒物理学の応用⇒社会での活用　という順番で学問から社会への応用となります。

例えで言えば、携帯電話を想像して見てください。
通信でやり取りをしているのは、電波ではないでしょうか？

数学の研究では、三角形より三角関数を研究しました。　※高校で習う、sin、cos、tanですね！
物理学の応用では、波（電波など）を応用して研究しました。
社会では、携帯のやり取りに電波を利用しました。

数学の研究（三角関数）⇒物理学の応用（波）⇒社会（携帯電話の電波）

数学の研究⇒物理学の応用⇒社会での活用という流れを頭に置いて欲しいと思います。


＜複雑系＞
複雑系の場合は、数学の研究⇒社会での活用となり物理の応用がありません。
※もちろん、物理で研究している方はいます。

数学の研究（カオス・フラクタル）
社会では、複雑な経済（複雑系経済学）

という風に複雑系を扱います。

私が言っているのでは、数学の研究のカオス・フラクタルのことです。
nanaponさんが言っているのが、社会での複雑系経済学のことだと思います。

つまり、私は複雑系の出発点を言っています。　nanaponさんは、複雑系の応用についての記事を書かれているのですね！


＜カオスとフラクタル＞
＜画像の数式＞
カオスとフラクタルの図形より

カオスの例です。
離散系のカオス（１）の「2．翼のようなストレンジアトラクタ」を見て下さい。

３つの画像がありますね！
x_{n + 1} = ax_n + by_n + c + d/(1+x_n²) ・・・①
y_{n + 1} = -x_n　・・・②

３つの画像は、①、②の数列を描いた物なのです。　※数列は高校で習います。

左の画像：a=-0.9，b=0.96，c=-4.0，d=5.0, x0=1.0，y0=0.0
中の画像：a=-1.57，b=0.96，c=-4.0，d=5.0, x0=1.0，y0=0.0
右の画像：a=-1.76，b=0.96，c=-4.0，d=5.0, x0=1.0，y0=0.0

３つの画像は、aの値が異なるだけで、他は同じです。
しかし、画像として見ると、全く違う数列の画像に見えます。

同じことを書きますが、カオスとは、初期値によって、結果が変わることです。
つまり、aの値によって、画像が違うので、これがカオスであります。
※aの値が初期値、画像が結果です。


フラクタルの例です。
マンデルブロ集合の「1．f(z)=z²+c」を見てください。

４つの図がありますね！
f(z)=z²+c・・・③

４つの画像は、③の複素数列を描いた物なのです。　※複素数列は理系の大学２年生で習います。

左から順番に、X1、X2、X3、X4と名前を付けます。
X1：z0=0, c=a+bi, a：-1.485～-1.473, b：-0.006～0.006
X2：z0=0, c=a+bi, a：-1.266～-1.246, b：0.371～0.391
X3：z0=x0+y0i, c=-0.035+0.795i, x0：-1.4～1.4，y0：-1.4～1.4
X4：z0=x0+y0i, c=-0.704+0.28i, x0：-0.27～0.13，y0：0.51～0.91

４つの画像は、同じ複素配列を見ていますが、見る範囲によって見え方が異なるということです。

同じことを書きますが、フラクタルとは、図形の配置（繰り返し処理を含む）です。
※図形の配置が複素数列となります。

※繰り返し処理の事を、数学の用語では自己相似性と言います。
===== 数学的な自己相似形について =====
③の式は、z_{n + 1} = z_n + cが正確な表現です。
f_{n + 1}(z) = f_n(z) と f を n 回繰り返していますね！
この f を n 回繰り返していることが、自己相似性と言います。
もちろん、n → ∞ とすれば、限りなく表現できることは分かると思います。
===== ここまで =====

ただし、フラクタルは、次のことが必要十分条件です。 つまり、フラクタルの定義です。

＜フラクタルの定義＞
集合Ｋの位相次元　dim_Ｔ(Ｋ) とハウスドルフ次元　dim_Ｈ(Ｋ)について、
dim_Ｔ(Ｋ) ＜ dim_Ｈ(Ｋ)
が成立するとき、集合Ｋはフラクタルであるという。
※位相、ハウスドルフ、次元とかは、数学用語なので、理系の方を除いて理解する必要がありません。
数学的には、フラクタルの定義は必要でありますが、複雑系を考える時には、フラクタルの定義に重きを置く必要はありません。


＜複雑系経済学＞
カオスとフラクタルからは、何を学んだのでしょうか？
・初期状態によって、結果が異なる（カオス）
・同じ物でも範囲が異なれば見方が異なる（フラクタル）

複雑系経済学では、一般に非線形で、要素間の相互依存性が強い系は複雑系となる可能性がある。
特に経済学にとっては要素の数が多いことや収穫逓増現象が重要である。

要素間の相互依存性が強い系とは、複数の初期状態と異なる結果には、因果関係があるということですね！
この相互依存性を因果関係と言っているので、何だか難しいように聞こえますね！

私は、複雑系経済学は専門外なので、簡単にしか触れません。


nanaponさんの「田坂広志さんのメルマガから引用」して「複雑系」を取り上げています。
田坂広志さんは、経済を複雑系経済学の１側面として考えて取り上げていると思います。


===== LogicalInSpaceの感想 =====
単純化と複雑系のどちらが良いのか？　議論を呼ぶと思いますけど。　研究する範囲では、両方が必要であると思います。
社会では、どのようにアプローチするのかが重要なことであると思います。
世の中（自然界、経済）は、簡単な事より複雑な事の方が多い事も事実だと思います。
複雑系経済学は、まだまだ進化する学問だと思いますし、実経済もどんどん変化すると思います。

前回の記事をもう１度、読んでみてください。　少しイメージが出来ると思いますよ！