大学入試

読売新聞（入試速報）
大学入試（数学）の過去問

１部の大学入試が行われています。

難関校では、数学の公式をそのまま使うことはまれであります。
いろいろな考え方を用いて解く問題が多いです。

中堅校では、数学の公式を使う問題が多くあります。

きちんと勉強した方は、自分が受ける過去問をどんどん解いて見てください。
まず、同じ問題は出ませんが、ただ、積分が多い、行列が多いなどの傾向があります。

検索

検索で訪れる方が多いですね！
解決はしているのでしょうか？
質問をしてくれればいいと思いますが・・・！？

二項定理

===== 数学A・Ⅰ =====
＜二項定理＞
(a + b)ⁿ = _nC₀aⁿ + _nC₁a^{n - 1}b + _nC₂a^{n - 2}b² + ・・・ + _nC_ra^{n - r}b^r + ・・・ + _nC_{n - 1}ab^{n - 1} + _nC_nbⁿ

組合せ

===== 数学A・Ⅰ =====
n個のものからr個をとった組合せの数
_nC_r = _nP_r / r! = n(n - 1)(n - 2)・・・(n - r + 1)
_nC_r = n! / r!(n - r)!

_nC_rの基本性質
_nC_r = _nC_{n - r
n}C_r = _{n - 1}C_{r - 1} + _{n - 1}C_r

n個の異なるものからr個をとった重複組合せの数は
_nH_r = _{n + r - 1}C_r

順列

===== 数学A・Ⅰ =====
＜定義＞
n! = n・(n - 1)・・・・・3・2・1
0! = 1
n! (nの階乗)

n個のものからr個をとった順列
_nP_r = n・(n - 1)・・・(n - r + 1)
_nP_r = n! / (n - r)!

n個の異なるものの円順列の数は(n - 1)!

n個の異なるものからr個をとる重複順列の数は_nΠ_r = n^r

n個のもののうち、p個、q個、r個、・・・がそれぞれ同じものであるとき、これらn個のもの全部を１列に並べる順列の数は n! / (p! q! r!・・・) (n = p + q + r + ・・・)

場合の数

===== 数学A・Ⅰ =====
＜和の法則＞
２つの事柄 A、B があって、これらは同時に起こり得ないとする。
そして、A の起こり方が m 通り、B の起こり方が n 通りあるとする。
A または B の起こる場合の和は m + n 通りある。

＜積の法則＞
２つの事柄 A、B があって、
A の起こり方が m 通りあり、そのおのおのに対して B の起こり方が n 通りあるとき、
A、B がともに起こる場合の数は m × n 通りある。

予備校の動画

センター入試の解答の動画を見つけました。
センター入試（解答）
受験生の方は、参考にしてください。

センターの数学_03

数学Ⅰ・A
第３問
△ABC、AB = 1、BC = √7、AC = 2

∠CAB = θ とすると

余弦定理より
BC² = AB² + AC² - 2・AB・AC・cosθ
7 = 1 + 4 - 2・1・2・cosθ
4cosθ = -2
cosθ = -(2 / 4) = -(1 / 2)
θ = 120° ... Ans


２等分線より
AB : AC = BD : CD ⇒ 1 : 2 = BD : CD より
BD = √7 / 3、CD = 2√7 / 3 ... Ans

円周角の性質より
弦ECにおいて、∠CAE = ∠CBE(∠DBE) = 60° ... Ans

円に内接する四角形より
∠A + ∠E = 180° より
∠E(∠BEC) = 180°- ∠A = 180°- 120° = 60° ... Ans

よって、△BCEは正三角形なので、
BC = BE = √7 ... Ans

余弦定理より
DE² = BD² + BE² - 2・BD・BE・cos60°
DE² = (7 / 9) + 7 - 2・(√7 / 3)・(√7)・(1 / 2)
DE² = (7 / 9) + 7 - 7 / 3 = 7((1 / 9) + 1 - (1 / 3)) = 7((1 + 9 - 3) / 9) = 49 / 9
DE ＞ 0 より
DE = 7 / 3 ... Ans

正弦定理より
a / sinA = 2Rより
ED / sin(∠DBE) = 2O'B
2O'B = (7 / 3) / sin60°= (7 / 3) / (√3 / 2) = (7 / 3)・(2 / √3)
O'B = (7 / 3)・(1 / √3) = (7 / 3)・(√3 / 3) = 7√3 / 9 ... Ans

△O'BEは O'B = O'E = 7√3 / 9、BE = √7 の２等辺三角形より
∠EBO' = θ とすると
cosθ = (BE / 2) / O'B = (√7 / 2) / (7√3 / 9) = (9√7) / (2・7・√3) = (9 / √3)・(√7 / 2・7) = 3√3・(1 / 2√7) = 3√3 / 2√7 (1 / cos²θで使用するため)
tan²θ = 1 / cos²θ - 1 = (2√7 / 3√3)² - 1 = 28 / 27 - 1 = (28 - 27) / 27 = 1 / 27
tanθ ＞ 0 より
tanθ = 1 / √27 = 1 / 3√3 = √3 / 9 ... Ans


※数学が苦手な方のために。
ゼロ点を避ける方法、√の部分に数字を入れるところがあります。
初めに、√7 と書いてあるので、√の部分に 7 を入れておけば、ゼロ点は避けられます。
本道ではありませんが、そんな方法もあります。

センターの数学_02

数学Ⅰ・A
第２問
y = 2x² - 4(a + 1)x + 10a + 1 ・・・①
※y = ax² + bx + c ⇒ y = a(x - p)² + q に変形する (平方完成)
y = 2(x² - 2(a + 1)x) + 10a + 1
y = 2(x² - 2(a + 1)x + (a + 1)²) -2(a + 1)² + 10a + 1
y = 2(x - (a + 1))² - 2(a² + 2a + 1) + 10a + 1
y = 2(x - (a + 1))² - 2a² + 6a - 1
頂点の座標は((a + 1), - 2a² + 6a - 1) ... Ans

(1)
グラフG が x 軸と接するのは、「y = ax² + bx + c の判別式D = 0」 または 「y = a(x - p)² + q の q = 0」の場合です。

=== 判別式の場合 ===
y = ax² + bx + c ⇒ 判別式D = b² - 4ac
y = ax² + 2bx + c ⇒ 判別式D = b² - ac
判別式D = b² - ac
判別式D = (2(a + 1))² - 2(10a + 1)
判別式D = 4a² + 8a + 4 - 20a - 2
判別式D = 4a² - 12a + 2
判別式D = 2(2a² - 6a + 1)

2a² - 6a + 1 = 0
=== q = 0 の場合 ===
※q = 0 と同一になる　-2a² + 6a - 1 = -(2a² - 6a + 1)

ax² + bx + c = 0 の解 x = (-b ±√(b² - 4ac)) / 2a
ax² + 2bx + c = 0 の解 x = (-b ±√(b² - ac)) / a
x = (-b ±√(b² - ac)) / a より
a = (3 ±√(3² - 2)) / 2 = (3 ±√7) / 2 ... Ans

(2) 最小値 m = -2a² + 6a - 1
※２次関数の a ＞ 0 のときの t ≦ x ≦ u のときに頂点の座標(p, q)が 最小値 q となるためにはt ≦ p ≦ u となる
-1 ≦ x ≦ 3 のときに最小値になるのは、-1 ≦ a + 1 ≦ 3 ⇔ -2 ≦ a ≦ 2 ... Ans

y(x) = 2x² - 4(a + 1)x + 10a + 1 とすると

a ＜ -2 のとき x = -1 を代入して、
m = y(-1)
m = 2 + 4(a + 1) + 10a + 1 = 14a + 7 ... Ans

2 ＜ a のとき x = 3 を代入して
m = y(3)
m = 2・9 - 12(a + 1) + 10a + 1 = -2a + 7 ... Ans

a ＜ -2 のとき、m = 14a + 7 より a = -2 のとき m = -28 + 7 = -21 より m ＜ -21 (１次関数の性質より)
-2 ≦ a ≦ 2 のとき、m = -2a² + 6a - 1 = -2(a² - 3a + 9/4) + 9/2 - 1 = -2(a - 3/2)² + 7/2 より m ≦ 7/2 (２次関数の性質より)
2 ＜ a のとき、m = -2a + 7 より a = 2 のとき m = -4 + 7 = 3 より m ＜ 3 (１次関数の性質より)

=== -2 ≦ a ≦ 2のとき ===
-2a² + 6a - 1 = 7/9
-18a² + 54a - 9 = 7
-18a² + 54a - 16 = 0
9a² - 27a + 8 = 0
(3a - 1)(3a - 8) = 0
-2 ≦ a ≦ 2 より a = 1/3 ... Ans

=== 2 ＜ aのとき ===
-2a + 7 = 7/9
-18a + 63 = 7
-18a = -56
a = 56/18 = 28/9 ... Ans

センターの数学_01

数学Ⅰ・A
第１問
[1]
A = 6x² + 5xy + y² + 2x - y - 20
※x または y でまとめる。　

ここでは、xでまとめる
A = 6x² + (5y + 2)x + y² - y - 20
A = 6x² + (5y + 2)x + (y - 5)(y + 4)
※2(y - 5) + 3(y + 4) = 2y - 10 + 3y + 12 = 5y + 2 より（たすき掛け）
A = (2x + y + 4)(3x + y - 5) ... Ans

ここでは、yでまとめる
A = y² + (5x - 1)y + 6x² + 2x - 20
A = y² + (5x - 1)y + 2(3x² + x - 10)
A = y² + (5x - 1)y + 2(3x - 5)(x + 2)
※2(x + 2) + (3x - 5) = 2x + 4 + 3x - 5 = 5x - 1 より（たすき掛け）
A = (y + 2(x + 2))(y + 3x - 5)
A = (y + 2x + 4)(y + 3x - 5)
A = (2x + y + 4)(3x + y - 5) ... Ans

x = -1
y = 2 / (3 - √7) = 2(3 + √7) / (9 - 7) = 3 + √7 (有理化する)

A = (-2 + 3 + √7 + 4)(-3 + 3 + √7 - 5)
A = (5 + √7)(√7 - 5) = (√7 + 5)(√7 - 5)
A = 7 - 25 = -18

[2]
p: a² ≧ 2a + 8 ⇔ a² - 2a - 8 ≧ 0 ⇔ (a - 4)(a + 2) ≧ 0 ⇔ a ≦ -2、4 ≦ a ⇔ a ≦ -2または4 ≦ a
q: a ≦ -2または4 ≦ a
r: a ≧ 5

(1)
q ⇒ p ならば必要条件、p ⇒ q ならば十分条件、p ⇔ q ならば必要十分条件
q は p であるための必要十分条件です。 ... Ans

(2)
条件 z の否定を￢zと表す。 (￢は論理記号では正式な記号です)
※ネットでは、上のバーを表現出来ないので、￢ (not:ノット)を使用しました。

￢q: -2 ＜ a ＜ 4
￢r: a ＜ 5

q かつ ￢r : a ≦ -2または4 ≦ a ＜ 5
q または ￢r : すべての実数
￢q かつ ￢r : -2 ＜ a ＜ 4
￢q または ￢r : a ＜ 5

「命題:A ならば B」 とは、BはAを含むという意味です
命題:p ならば(q または ￢r)は真である ... Ans
命題:(q かつ ￢r)ならばpは真である ... Ans

センター入試

センター入試が行われました。
読売新聞
ザーっとは、見ました。

相変わらず、数学Ⅰ・Aは必要十分条件の問題の出題があります。
論理学の基礎になるので、出題されると思います。

数学Ⅱ・Bは、指数・対数関数、三角関数、微分積分の問題が必須問題として出されています。

プログラムでは、数学Ⅱ・B「BASICの問題」、情報関係基礎の問題もありました。
Visual Basic.NET(VB.NET) 2008 の文法を勉強すると解けるような問題です。
マイクロソフトでも、フリーのVB.NET 2008をダウンロード出来るので、受験勉強には、いいかも・・・。

Happy New Year!!!

Happy New Year!!!

新しい新年を迎えました。

面白い数学を楽しんで欲しいと思います。
数学は、考えることが楽しいので、そこの部分を伝えられたらいいなぁと思います。

皆さんがよい新年を迎えられるように、願っています。

良いお年を・・・

今年のブログの更新は、これで最後です。
元旦を除いて、しばらくは休もうと思います。
理由は、いろいろとやりたいことがあるので・・・。

数学のブログは、いかがでしたしょうか？

理系離れが、騒がれている今日この頃です。
でも、ノーベル賞が４人も日本から出たので話題になりましたね！
数学にはノーベル賞はありません。　その代わりに、フィールズ賞があります。

数学は、積み重ねの学問なので１度、分からなくなると挫折する学問です。
苦手な方が多くなるのもやむ得ない部分もあります。

ある意味、１度は挫折した方が、教師をすると教えるにはいいと聞きます。

途中からは、中・高の公式集としましたけど。　受験勉強には参考になったでしょうか？
来年からも、引き続き、高校の公式集は続けていくつもりです。

受験生の方は、この冬が大切な時期なので、頑張ってください。
皆さん、良いお年を・・・。

球の表面積と体積

===== 数学A・Ⅰ =====
（半径 r の球）
表面積：S = 4πr²
体積：V = 4 / 3 ・πr³

三角形の面積

===== 数学A・Ⅰ =====
（三角形の面積）
△ABCの面積をSとすると
S = bcsinA / 2 = casinB / 2 = absinC / 2

（ヘロンの公式）
△ABCの辺をそれぞれ、a、b、cとすると（３辺の長さが分かっている時）、面積をSとする。
s = (a + b + c) / 2
S = √(s(s - a)(s - b)(s - c))

（三角形の内接円・外接円の半径と面積）
S = abc / 4R
S = rs (s = (a + b + c) / 2)