予備校＆塾の講師

予備校または塾の正社員の数学の講師をしたいと思っています。

PM5:00-PM10:00 ぐらいの時間帯ではないでしょうか？
勤務地は、茨城県の土浦市・つくば市、電車で通える範囲（水戸など）が希望
なかなか、大卒などが多く自分の条件に合っていないところが多く、探すのに苦労しています。

城西大学・理学部・数学科（１年中退）
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東大数学の難易度

ときどき、「東大数学の解き方」で訪れる方がいます。

まずは、難易度です。
2009年度の東大前期の理系数学の①～⑤の解答を掲載しました。
⑥もあるのですが、割愛を致します。

難易度は、標準問題の融合問題が多いということが特徴としてあげられます。
融合問題が多いということは、苦手な分野を作ると点数が取れないということです。
まんべんなく、どの分野の標準問題をこなして、融合問題に対応する準備が必要であります。

解き方は、標準問題を解けるようにすることです。
そうすると、東大前期の数学は解けると思います。
ときどき、難問が出題されますが、標準問題を解ければ、自然と解けるようになると思います。


なぜ、融合問題が多いのか？
大学の数学は、より抽象的な数学になります。
抽象的な数学は、考え方、具体的から抽象的へなど、広い視野が求められます。

例えば、ε－δ論法（解析学）、環（代数学）などがそうです。
ε－δ論法は、極限についてを厳密に取り扱う論法です。　大きい、小さいの概念が中途半端に考えているのかが分かります。
環は、計算法則についての定義からさまざまな定理を導きだしています。　５次方程式には一般解の公式が存在しないのも、環⇒体⇒ガロア理論より証明されています。
抽象数学を高校生にはそのまま出題が出来ないので、融合問題として出題していると思われます。
抽象数学が理解が出来れば、必ずしも解ける訳ではありませんが、基礎学力を問うには、融合問題が適していると思われます。
※ε－δ論法、環などは、高校の範囲を超えるので、今は知る必要はないです。

数学の家庭教師

数学の家庭教師をすることにしました。

対象は、小・中・高です。
家庭教師を経営する会社へと登録をしました。
もちろん、アルバイトです。

少しづつ、社会復帰をしないといけないので、体調が比較的によい夕方の仕事を探していたので、良かったです。

東大数学 前期(2009)_(5)

＜⑤の問題＞
(1) 実数 x が -1 ＜ x ＜ 1、x ≠ 0 をみたすとき、次の不等式を示せ。 (1-x)^1-1/x ＜ (1+x)^1/x
(2) 次の不等式を示せ。 0.9999¹⁰¹ ＜ 0.99 ＜ 0.9999¹⁰⁰


＜解答＞
(1)
両辺を対数をとる
(1-1/x)log(1-x) ＜ 1/x・log(1+x) ・・・①を示せばよい。

0 ＜ x ＜ 1 では、⇔ (x-1)log(1-x) ＜ log(1+x)
-1 ＜ x ＜ 0 では、⇔ (x-1)log(1-x) ＞ log(1+x)

f(x) = log(1+x) - (x-1)log(1-x)
f'(x) = 1/(x+1) - log(1-x) - (1-x)・(-1)/(1-x)
f'(x) = 1/(x+1) - log(1-x) - 1
f''(x) = -1/(x+1)² - (-1)/(1-x) = x(x+3)/(1+x)²(1-x)

f''(x) -1 ... (-) ... 0 ... (+) ... 1
f'(0) = 0 より f'(x) ≧ 0 (-1 ＜ x ＜ 1)
f(0) = 0 より、0 ＜ x ＜ 1 で f(x) ＞ 0, -1 ＜ x ＜ 0 でf(x) ＜ 0 となり、題意は示された。

(2)
(1-x)^1-1/x ＜ (1+x)^1/x ・・・②
②に x = 0.01 を代入、0.99^-0.99 ＜ 1.01¹⁰⁰
両辺を0.99¹⁰⁰倍して、0.99 ＜ 0.9999¹⁰⁰
②に x = -0.01 を代入、1.01¹⁰¹ ＜ 0.99^-100
両辺を0.99¹⁰¹倍して、0.9999¹⁰¹ ＜ 0.99


＜解説＞
不等式の証明には、簡単な式では、式変形や公式を使用して証明します。
複雑な式では、差または商より微分して増減表より証明します。

東大数学 前期(2009)_(4)

＜④の問題＞
a を正の実数とし、
空間内の２つの円板
D₁ = { (x, y, z) | x² + y² ≦ 1, z ＝ a},
D₂ = { (x, y, z) | x² + y² ≦ 1, z ＝ -a}
を考える。
D₁ を y 軸の回りに 180°回転して、D₂ に重ねる。
ただし、回転は z 軸の正の部分を x 軸の正の方向に傾ける向きとする。
この回転の間に D₁ が通る部分を E とする。
E の体積を V(a) とし、E と { (x, y, z) | x ≧ 0} との共通部分の体積を W(a) とする。

(1) W(a) を求めよ。
(2) lim_{a → ∞}V(a) を求めよ。


＜解答＞
(1)
平面 y = k (-1 ≦ k ≦ 1) による D₁ の切り口は、x² + k² ≦ 1, z = a より
180°回転させると、外の円は半径 1、内の円の半径 k² の間の部分となり
x ≧ 0 の部分の面積は、π/2・(1 - k²)


(2)
E の x ≦ 0 の部分の体積をU(a)、面積をS(k) とする。
半径 1 と半径 k² の差の部分を S(k) とする。
S(k) は、２つの孤の差の面積なので、そこの部分の長方形の T(k) を考える。
S(k) ≦ T(k) = 2√(1 - k²)(√(1 - k² + a²) - a) = 2√(1 - k²)(1 - k²) / (√(1 - k² + a²) + a) = 2(1 - k²)^3/2 / (√(1 - k² + a²) + a)
≦ 2(1 - k²)^3/2 / a = 2/a・(1 - k²)^3/2

・・・①
a → ∞ のとき、①の最右辺 → 0 だから、はさみうち原理より、U(a) → 0
∴ V(a) → W(a) = 2/3・π


＜解説＞
点の軌跡より、曲線を求める問題は多いと思います。
今回は、空間の面積の軌跡より体積を求める問題になります。
なので、軌跡の問題に慣れる必要があります。

また、(x, y, z) の空間をイメージする問題です。
求める体積は、面積を積分することを使っています。
さらに、(2) では、はさみうちの原理を使っています。

軌跡・空間・積分の融合問題なので、苦手な分野があると点数が取れないと思います。

東大数学 前期(2009)_(3)

＜③の問題＞
スイッチを１回押すごとに、赤、青、黄、白のいずれかの色の玉が１個、等確率1/4で出てくる機械がある。　２つの箱 L と R を用意する。　次の３種類の操作を考える。
（A）１回スイッチを押し、出てきた玉を L に入れる。
（B）１回スイッチを押し、出てきた玉を R に入れる。
（C）１回スイッチを押し、出てきた玉と同じ色の玉が、L になければその玉を L に入れ、L にあればその玉を R に入れる。

（１）L と R は空であるとする。　操作（A)を５回おこない、さらに操作（B）を５回おこなう。　このとき L も R にも４色すべての玉が入っている確率 P₁ を求めよ。
（２）L と R は空であるとする。　操作（C)を５回おこなう。　このとき L に４色すべて玉が入っている確率 P₂ を求めよ。
（３）L と R は空であるとする。　操作（C)を１０回おこなう。　このとき L にも R にも４色すべての玉が入っている確率 P₃ とする。　P₃/P₁ を求めよ。


＜解答＞
（１）
L に４色そろうのは、赤、青、黄、白のうちの１色が２回、他が各１回・・・①　出るとき。
どの色が２回かで４通り、赤赤青黄白の場合、これからの順序は5!/2!=5・4・3通り。
他の場合も同様で、L に４色そろう確率は、 4 × 5・4・3 / 4⁵ = 15/64 ・・・②
R に４色そろう確率も②と同じで、P₁ = ②²

（２）
L に４色そろうのは①の場合で、P₂ = ② = 15/64

（３）
L も R も４色そろうのは各色が２回以上出る場合で、どの色が何回でるかは、次の２タイプ：
１）２回、２回、２回、４回
２）２回、２回、３回、３回
１）のとき：どの色が４回かで４通り。
赤２回、青２回、黄２回、白４回の場合、赤、青、黄が何回目かは₁₀C₂・₈C₂・₆C₂ = 45・28・15通り。
他の場合も同様。
２）のとき：どの色が２回かで₄C₂=６通り、赤２回、青２回、黄３回、白３回の場合、赤、青、黄が何回目かは₁₀C₂・₈C₂・₆C₃ = 45・28・20通り。
他の場合も同様。
以上から、P₃ = (4 × 45・28・15 + 6 × 45・28・20) / 4¹⁰
また、P₁ = (4 × 5・4・3)² / 4¹⁰ だから
P₃/P₁ = (4 × 45・28・15 + 6 × 45・28・20) / (4 × 5・4・3)² = (7・3 + 6・7) / 4・4 = 63/16

東大数学 前期(2009)_(2)

＜②の問題＞
実数を成分にもつ行列 と実数r, s が下の条件 ()、()、() をみたすとする。
() s ＞ 1
()
(） (n = 1, 2, ...) とするとき、

このとき以下の問に答えよ。
(1) を a, c, r, s を用いて表せ。
(2) (n = 1, 2, ...) とするとき、
(3) c ＝ 0 かつ |a| ＜ 1 を示せ。


＜解答＞
(1)
、 より

∴

(2)
とおくと B = P^-1AP だから、

n → ∞ のとき、x_n → 0、y_n → 0 だから、z_n → 0、w_n → 0

(3)
a - cr = p とおくと

から、B²、B³ 計算して、Bⁿ を以下のように推測できる。

ただし、X = c(p^k + p^k-1s + ... + s^k)

数学的帰納法より証明をしますが、割愛をします。　（答案には証明を書く）


ただし、X = c(p^k + p^k-1s + ... + s^k)
(2) より、n → ∞ のとき、p^k → 0 ・・・①
よって、|p| ＜ 1、(） s ＞ 1 ・・・②
p ≠ s
∴w_n = c・(pⁿ - sⁿ) / (p - s)
①、②より、n → ∞ のとき、pⁿ - sⁿ → -∞ であり、w_n → 0 より c = 0
p = a - cr = a より p = a より |a| ＜ 1


＜解説＞
(1)
任意の行列 A に対して、、 この式が成り立つならば が成り立つ。

(2) B = P^-1AP ならば、Bⁿ = P^-1AⁿP が成り立つ。
(3) 式は複雑になるが、計算力の問題です。


＜ポイント＞
具体的な数値を扱う問題ではなく、行列、数列、極限の性質を利用した問題です。
また、行列、数列、極限の融合問題です。
なので、苦手な部分があると点数が取れません。

東大数学 前期(2009)_(1)

＜①の問題＞
自然数 m ≧ 2 に対し、m-1 個の二項係数_mC₁, _mC₂ , ... , _mC_m-1 を考え、これらすべての最大公約数を d_m とする。
すなわち、d_m はこれらすべてを割り切る最大の自然数である。

(1) m が素数ならば、d_m = m であることを示せ。
(2) すべての自然数 k に対し、k^m - k が d_m で割り切ることを、k に関する数学的帰納法によって示せ。
(3) m が偶数のとき、d_m は 1 または 2 であることを示せ。


＜解答＞
(1)
_mC₁ = m だから、_mC_i(i = 1, 2, ... , m-1) が m の倍数になることを示せばよい。
_mC_i = m(m-1) ... (m-(i-1)) / i(i-1) ... 1 = m・(m-1) ... (m-(i-1))/ i(i-1) ... 1 = m・X
(X = (m-1) ... (m-(i-1))/ i(i-1) ... 1 とおく)
i ≦ m-1 より、m が素数ならば、m と i, i-1, ... , 1 は、互いに素だから、X が約分されて整数となり、m の倍数。

(2)
k = 1 のとき、k^m - k = 0 は d_m の倍数
k = n のとき成り立つと仮定すると、n^m - n は d_m の倍数 ・・・①
k = n + 1 のとき、
(n + 1)^m - (n + 1)
= _nC₀n⁰ + _nC₁n¹ + ... + _nC_tn^t + ... + _nC_m-1n^m-1 + _nC_mn^m - (n + 1)
ただし、t は(n + 1)^m を展開したときの t項目です。
= 1 + _nC₁n¹ + ... + _nC_tn^t + ... + _nC_m-1n^m-1 + n^m - (n + 1)
= _nC₁n¹ + ... + _nC_tn^t + ... + _nC_m-1n^m-1 + n^m - n ・・・②

_nC_t (1 ≦ t ≦ m-1) は、d_m の倍数で、これと①より、②は d_m の倍数だから、k = n + 1 のときも成り立つ。
よって、題意は示された。

(3)
(2) より k^m - k ≡ 0 (mod d_m) (k ＝ 0 でも成立)
だから、k = d_m - 1 として
(d_m - 1)^m - (d_m - 1) ≡ 0 (mod d_m)
∴ (-1)^m + 1 ≡ 0
m は偶数だから、 2 ≡ 0 となり、2 は d_m の倍数。
よって、d_m は 1 または 2。


＜解説＞
n! = n(n-1)...2・1 ただし、1! = 0! = 1 と定義する
_nC_r = n! / r!(n-r)!
を教科書で確認する。

(a + b)ⁿ = _nC₀ + _nC₁a^n-1b + ... + _nC_ra^n-rb^r + ... + _nC_n-1ab^n-1 + _nC_nbⁿ
を教科書で確認する。

互いに素は、最大公約数が 1 であること。

数学的帰納法の証明を教科書より確認する。

n ≡ r (mod d) の合同式とは、n ÷ d = X あまり r を意味する。
商 X は扱わなく、剰余（あまり）r を扱うときに、使う記号です。
本来は、大学の代数学で習う記号です。　大学受験より、教える予備校もあります。　たぶん、進学校では教えると思います。
プログラムの BASIC をすると、mod の命令を使います。


＜ポイント＞
₅C₃ = 5! / 3!(5-3)! = 5! / 3!2! = 5・4 / 2・1 = 5・2 = 10
のように、具体的な数字を扱う訳ではないということです。
変数を用いて、数学的な性質を取り扱っていること。

(1) _mC_i = m・X というに、_mC_i が、m の倍数であることの性質を見抜くこと。
m が素数であれば、m とm以外は、必ず互いに素であること。

(2) (n + 1)^m - (n + 1) = = _nC₁n¹ + ... + _nC_tn^t + ... + _nC_m-1n^m-1 + n^m - n と変形をすること。

周期

以前書いた、周期を書きなおしました。

１．主要諸原理

＜周期の定義＞
ある複素数が周期であるとは、その実数と虚数が、有理数係数多項式の不等式で与えられる Rⁿ 内の領域上での、有理数係数有利関数の絶対収束積分の値になっていることである。

＜例＞
π = ∫∫dxdy ( x² + y² ≦ 1 )
ζ(3) = ∫∫∫(1-x)^-1y^-1z^-1dxdydz ( 0 ＜ x ＜ y ＜ z ＜ 1 )

＜原理１＞
新しい数と出会い、そしてそれが超越的であったなら、それが周期かどうかを計算してみようと試みよ。

＜予想１＞
ある周期が二つの積分表示を持つならば、関数や積分領域が￢Q係数で代数的である場合の法則のみで一方から他方へ変形できる。

＜原理２＞
二つの実数が一致すると予想し、それを証明したいなら、まず、それらを周期として表そうと試みよ（原理１）。
そして、法則によって一方を他方に変形しようと試みよ。


２．周期と微分方程式

＜事実１＞
f(z) を重さ k ＞ 0 の（正則または有理型）保型形式とし、t(z) を保型関数とする。
そのとき、F(t(z)) = f(z) により定義された多価関数 F(t) は代数的係数を持つ k + 1 階線型微分方程式をみたす。

＜事実２＞
f(z) を重さ k ＞ 0 の保型形式、t(z) を保型関数とし、共に￢Q 上定義されているとする。
そのとき、t(z₀) が代数的になる任意の z₀ ∈ G に対し、f(z₀) は ^P に属する。


３.周期とL-関数

L-関数
(i) L-関数は Π_pP_p(p^-s)^-1 の形のオイラー積を持つ。
ここで、積はすべての素数 p をわたる。
また、P_p(T) は（代数的）整数係数を持つ固定された次数 n （次数が下がっている有限個の p は除く）の多項式であり、それは標数 p の有限体上の数論的対象のふるまいをある方法で述べている。

(ii) L-関数は（s の整数値において、有限個の極のみを持ち）有理型関数に解析接続できること、そして、ある正整数 k に対して L^*(s) = ±L^*(k - s) の形の関数等式を持つことが（知られているか）予想されている。
ここで、A^sΠ_{j = 1}ⁿΓ(1/2・(s + α_j)) (A ＞ 0, α_j ∈ Z) という形の”ガンマ因子" γ(s) に対して、L^*(s) = γ(s)L(s) である。
より一般的に、関数等式は、L₁^*(s) = ωL₂^*(k - s) の形をしていると思われる。
ここで、L₁ と L₂ はガロア表現とその反傾のような双対的な数論的対象の L-関数であり、ω は絶対値 1 の代数的数である。
しかしこれから挙げる例では L₁ と L₂ は常に一致する。

(iii) L-関数は局所的リーマン予想、すなわち、P_p(p^-s) の零点は直線 R(s) = (k - 1) / 2 上にある、を（みたすか）みたすと予想される

(iv) L-関数は体域的リーマン予想、すなわち、L(s) の零点は整数か直線 R(s) = k / 2 上にある、をみたすであろうと予想される。

(v) L-関数は s の整数値において、周期と関連がある興味深い特殊値を持つ。

＜予想＞
L(s) をモチーフ的 L-関数、m を任意の整数、そして、r を s = m における L(s) の零点の位数とする。
そのとき L^(r)(m) ∈ ^P。

＜定理＞
f を ￢Q 上定義された重さ k ≧ 2 の保型形式とする。
そのとき、すべての m ≧ k に対し(0 ≦ m ≦ k の臨界値に対しても同様に） L(f, m) ∈ ^P となる。

＜系＞
Q(x₁, ... , x_n) を Q 係数の偶数個の変数を持つ正定値二次形式とする。
ζ_Q(s) = ∑' 1 / Q(x₁, ... , x_n)^s （x₁, ... , x_n ∈ Z)
のすべての整数 s ＞ n / 2 での値は ^P に属す。

＜定理＞
f を偶数の重さ k のヘッケ固有形式とし、L^*(f, s) = -L^*(f, k - s) とする。
そのとき、L'(f, k / 2 ) ∈ ^P。

＜予想＞
ρ: Gal(￢Q / Q) → GL(n, ￢Q)
を絶対ガロア群の表現で
ρ（複素共役） = -1^→_{n × n}
なるものとする。


周期から、いろいろな数の性質が発見されるのですね！

誕生日

今日は誕生日です。　３６歳になりました。

今日は、歌手の尾崎　豊の命日であります。　そして、福知山線脱線事故の日であります。

今日は雨で、少し憂鬱な天気です。
妻からは、キリスト教の本をもらいました。

あまり、３６歳の誕生日を迎えて、どうのこうのうはあまりないですけど。
ただ、節目の日を迎えた感じです。

超越数の証明

2^√2 が超越数であることの証明は、今だに与えられていないそうです。

超越数とは、a₀xⁿ + a₁x^{n - 1} + ... + a_ix^{n - i} + ... + a_n = 0 の代数方程式の解にならない場合に超越数と定義します。
x² = 2 の解の１つが x = √2 なので、√2 は超越数ではありません。

ふと、思ったのですが背理法を用いれば簡単に証明できるように思えます。
しかし、対偶の形が良く分からないかも知れないですね！

===== 2009/11/22 PM1:45 追記 =====
ゲルフォント＝シュナイダーの定理(Wiki)
Wikiよりは、定理と書かれてありますが、きちんとした証明は書かれていません。
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面積の基本

面積の基本は、長方形だとご存じですか？

えっ！　本当・・・！？　という声が聞こえて来そうです。

長方形は、縦(a)×横(b) = ab が面積ですよね！
すべては、これが基本なんですよ！

平行四辺形も、変形すると長方形になりますね！
三角形は、その２つの三角形を組み合わせると、平行四辺形になりますね！


＜積分の考え方＞
y = x² を区間 [0, 1]の間の面積 S を求める方法は・・・？
区間[0, 1] を n分割します。
x0(= 0), x1, ... , x(N-1), xN(= 1)と分割します。

x(K-1), x(K) は、1/N となりますね！
y = x² は増加関数なので、x(K-1) ＜ x(K) ですね！

小さい面積 t(N)、大きい面積 T(N) を考えます。
t(N) は、x0, ... , X(N-1) を基準に考えます。
T(N) は、X1, ... , X(N) を基準に考えます。

x(K) の時の面積は、
x = x(K) は、x = K / N となるので、面積は x(K)²・(1 / N) = (K / N)²・(1 / N) となりますね！

t(N)
= x0²・(1 / N) + ... + x(N-1)²・(1 / N)
= (x0² + ... + x(N-1)²)・(1 / N)
= ((0 / N)² + ... + ((N-1) / N)²)・(1 / N)
= (0² + ... + (N-1)²)・(1 / N)³

T(N)
= x1²・(1 / N) + ... + x(N)²・(1 / N)
= (x1² + ... + x(N)²)・(1 / N)
= (x1² + ... + x(N)²)・(1 / N)
= (1² + ... + (N)²)・(1 / N)³


実際に求める面積を S とすると t(N) ＜ S ＜ T(N) となります。
N をどんどん大きな数にまで考えます。　最終的には∞まで考えます。
N → ∞ と書きます。

そうすると t(N) → S、T(N) → S となります。

1² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6 という公式があります。

t(N)
= (0² + ... + (N-1)²)・(1 / N)³
= (N - 1)N(2(N - 1) + 1) / 6・(1 / N)³
= (N - 1)N(2N - 1) / 6・(1 / N)³
= (1 - 1 / N)・1・(2 - 1 / N) / 6

N → ∞ とすると 1 / N → 0 となるので
t(N) → (1 - 0)・1・(2 - 0) / 6 = 2 / 6 = 1 / 3

T(N)
= (1² + ... + (N)²)・(1 / N)³
= N(N + 1)(2N + 1) / 6・(1 / N)³
= 1・(1 + 1 / N)(2 + 1 / N)

N → ∞ とすると 1 / N → 0 となるので
T(N) → 1・(1 + 0)(2 + 0) / 6 = 2 / 6 = 1 / 3

よって、
t(N) ＜ S ＜ T(N) を N → ∞ とすると
t(N) → 1 / 3、T(N) → 1 / 3 なので、
1 / 3 ＜ S ＜ 1 / 3 なので S = 1 / 3 となります。
※これを「はさみうちの原理」と言います。

求める面積は、S = 1 / 3


面積は長方形が基本なのは、分かって頂けましたでしょうか？

数学のセンス

数学の大学受験を対象に・・・。
自分に数学のセンスがあるのか？　ないのか？　をはっきりさせないと、勉強方法は分かりませんよね！

＜問題＞
曲線 y = x³ 上の点 P(a, a³) における接線を l , l がふたたびこの曲線と交わる点を Q, Q におけるこの曲線の接線を m とし、２直線 l, m のなす角うち鋭角であるほうを θ とする。
a ＞ 0 として、次の問いに答えよ。
(1) tanθ を a で表せ。
(2) θ が最大になるときの a の値と tanθ の値を求めよ。

これは、標準問題レベルです。　解き方がイメージが出来るでしょうか？
しばらく、考えてみてください。　イメージが出来れば大丈夫です。


＜解き方のイメージ＞
(1) 点 P の接線 l を求める。　それから、点 Q を求める。 接線 l, m の傾きより tanθ を a を用いて表す。
(2) a の関数より f(a) の最大値を求める。


＜解答＞
(1) y = x³, y' = 3x²
点 P (a, a³) における接線 l の方程式は
y = 3a²(x - a) + a³
y = 3a²x - 2a³
曲線と l との交点の x 座標は
x³ = 3a²x - 2a³
(x - a)²(x + 2a) = 0 ・・・①
∴ x = a, -2a
点 Q (-2a, -8a³) における接線 m の傾きは
3(-2a)² = 12a²
よって、
tanθ = | (12a² - 3a²) / (1 + 12a²・3a²) | = 9a² / (1 + 36a⁴) ...Ans

(2) a ≠ 0 ゆえ
tanθ = 9 / (1 / a² + 36a²) ≦ 9 / (2√((1/a²)・36a²)) = 3 / 4
相加・相乗平均の不等式より
等号が成立するのは
1 / a² = 36a²
a = 1 / √6 (a ＞ 0)
よって、 θ は a = 1 / √6 のとき最大となり、
このとき tanθ = 3 / 4 である。 ...Ans


＜解答の解説＞
(1) y = x³, y' = 3x²
y = xⁿ, y' = nx^{n - 1}

点 P (a, a³) における接線 l の方程式は
点 T (t, f(t)) における接線 l_t の方程式は
y - f(t) = f'(t)(x - t) ⇔ y = f'(t)(x - t) + f(t)

y = 3a²(x - a) + a³
y = 3a²x - 2a³

曲線と l との交点の x 座標は
x = a の接線なので、x = a より２重解を持つので、(x - a)²(x - u) = 0 の形になる

x³ = 3a²x - 2a³
(x - a)²(x + 2a) = 0 ・・・①
∴ x = a, -2a
点 Q (-2a, -8a³) における接線 m の傾きは
y = f'(t)(x - t) + f(t) より傾きは f'(t) より y' = 3x² に x = - 2a を代入する

3(-2a)² = 12a²
よって、

２直線 y = m₁x + y₁, y = m₂x + y₂ とし、x 軸とのなす角をそれぞれ α, β とすると
ただし、m₂m₁ ≠ -1
tanα = m₁, tanβ = m₂ より
tanθ = |tan(β-α)| = |(tanβ - tanα) / (1 + tanβtanα)| = |(m₂ - m₁) / (1 + m₂m₁)|
tanθ = | (12a² - 3a²) / (1 + 12a²・3a²) | = 9a² / (1 + 36a⁴) ...Ans

(2) a ≠ 0 ゆえ
tanθ = 9 / (1 / a² + 36a²) ≦ 9 / (2√((1/a²)・36a²)) = 3 / 4
相加・相乗平均の不等式より
t + u ≧ 2√(tu) ⇔ 1 / (t + u) ≦ 1 / 2√(tu) 等号は t = u

等号が成立するのは
1 / a² = 36a²
a = 1 / √6 (a ＞ 0)
よって、 θ は a = 1 / √6 のとき最大となり、
このとき tanθ = 3 / 4 である。 ...Ans


＜結果的には解き方のイメージ＞
(1) 点 P の接線 l を求める。　それから、点 Q を求める。 接線 l, m の傾きより tanθ を a を用いて表す。
(2) a の関数より f(a) の最大値を相加・相乗平均より求める。


この問題は、数学Ⅱ・Bの微分と三角関数の融合問題です。
①解き方のイメージが出来る
②太い部分の公式を理解している
③公式より具体的な数式を当てはめて計算できること

＜センスがある方＞
①～③までをスムーズに出来れば、数学的なセンスはあると思います。
難関大学になればなるほど、①の部分が難しい問題が出題されます。

＜センスがない方＞
①～③までをスムーズに出来なければ、数学的なセンスがないと思います。
センスがないので、同じ問題または類題を解いて、反復して解きましょう。
数学的なセンスがない以上は、反復して解くしかないですよね！　それが地道な努力です。　学問に王道なしです。


理系の高３であれば、数学Ⅱ・Bまでを学習していると思われます。
東京大学、京都大学、大阪大学などの難関校の文系の問題は数学Ⅱ・Bまでが範囲なので、試しに過去問でも解いて見てもいいかもしれませんね！
文系の大学は、数学Ⅱ・Bまでが範囲なので、理系の高３ならば文系の大学の入試問題は解ける内容が出題されています。

ディオファントス方程式

ディオファントス方程式を最新の数学では研究対象であることが分かりました。

初めはディオファントス方程式の定義を知らずに読んでいて、後で調べたら、「整数および変数の定数乗の加減乗算からなる方程式」がディオファントス方程式だと分かりました。

ピタゴラスの定理、ペル方程式などもディオファントス方程式なんですね！
いろいろと調べると楽しいです。　なるほどと思います。

数学の最先端（全６巻）

数学の最先端　２１世紀への挑戦のVolume 1 - Volume 6 まで全６巻を購入しました。

最新の数学の研究を知りたかったので、とても嬉しいです。
しかし、2001年の論文を訳しているので、８年前の論文のようです。

８年前でも、最先端の数学を理解が出来ないまでも、垣間見ることはとても、嬉しい限りです。

楽しく読みたいと思います。