東大数学 前期(2009)_(5)

＜⑤の問題＞
(1) 実数 x が -1 ＜ x ＜ 1、x ≠ 0 をみたすとき、次の不等式を示せ。 (1-x)^1-1/x ＜ (1+x)^1/x
(2) 次の不等式を示せ。 0.9999¹⁰¹ ＜ 0.99 ＜ 0.9999¹⁰⁰


＜解答＞
(1)
両辺を対数をとる
(1-1/x)log(1-x) ＜ 1/x・log(1+x) ・・・①を示せばよい。

0 ＜ x ＜ 1 では、⇔ (x-1)log(1-x) ＜ log(1+x)
-1 ＜ x ＜ 0 では、⇔ (x-1)log(1-x) ＞ log(1+x)

f(x) = log(1+x) - (x-1)log(1-x)
f'(x) = 1/(x+1) - log(1-x) - (1-x)・(-1)/(1-x)
f'(x) = 1/(x+1) - log(1-x) - 1
f''(x) = -1/(x+1)² - (-1)/(1-x) = x(x+3)/(1+x)²(1-x)

f''(x) -1 ... (-) ... 0 ... (+) ... 1
f'(0) = 0 より f'(x) ≧ 0 (-1 ＜ x ＜ 1)
f(0) = 0 より、0 ＜ x ＜ 1 で f(x) ＞ 0, -1 ＜ x ＜ 0 でf(x) ＜ 0 となり、題意は示された。

(2)
(1-x)^1-1/x ＜ (1+x)^1/x ・・・②
②に x = 0.01 を代入、0.99^-0.99 ＜ 1.01¹⁰⁰
両辺を0.99¹⁰⁰倍して、0.99 ＜ 0.9999¹⁰⁰
②に x = -0.01 を代入、1.01¹⁰¹ ＜ 0.99^-100
両辺を0.99¹⁰¹倍して、0.9999¹⁰¹ ＜ 0.99


＜解説＞
不等式の証明には、簡単な式では、式変形や公式を使用して証明します。
複雑な式では、差または商より微分して増減表より証明します。