指数とは

指数とは、何でしょうか？

a^x の定義では「a を底、x を指数」です。

√a：平方根
a + bi：複素数
log(x)：対数（底が10の場合は常用対数、eの場合は自然対数）
sin(x)：サイン
行列 A：行列

a^x ・・・①　の形で表現される場合は、何と呼ぶのでしょうか？

私は①のことを指数だと思っていました。
しかし人によっては、x のみを指数という方がいました。


===== 底 a =====
話は少しずれますが、a^x の底 a は（a ＞ 0、a ≠ 1）です。
ネットを見て気がつきましたが、a ≧ 0 でもいいと書かれてあることに愕然としました。

1^x = 1 （定数）です。
定義を考えてみましょう。
a^x の定義は、a を底、x を指数です。
1^x は、定義より、1 を底、x を指数 (-∞ ＜ x ＜ ∞) とするのでしょうか？
1^x は定数なので、指数の定義が出来ないのが正しい理解だと思います。

a ＝ 0 の場合です。
3⁰ = 1
2⁰ = 1
から考えると、
a⁰ = 1 (a → +0) です。

0³ = 0
0² = 0
から考えると
0^x = 0 (x → 0) です。

0⁰ は不定になる。

やはり、底 a は（a ＞ 0、a ≠ 1）の条件付きです。

教える大変さ

家庭教師をして、教える大変さを感じています。
それは、生徒がまっさらな状態で教師の話を聞くという点です。

例えば、高１の教科書の展開と因数分解の公式より
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
は教科書に載っています。

しかし、
(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc
(a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a³ + b³ + c³ - 3abc
教科書によっては、教える所と教えない所がある公式です。

x² + y² = (x + yi)(x - yi) （i は虚数単位）
(x + y)⁷ = ₇C₀x⁷ + ₇C₁x⁶ + ₇C₂x⁵ + ₇C₃x⁴ + ₇C₄x³ + ₇C₅x² + ₇C₆x + ₇C₇
は教科書の範囲外ですよね！

なので、教科書の範囲を把握して教えることが、自分が教えてもらった時と異なるので、教科書の範囲を確認して教えるように心がけています。
またある意味、どこまで教えるのかセーブしながら教えないといけないので大変です。
※文系、理系では教える範囲も異なりますよね！ 微分の y = (ax + b)ⁿ ⇒ y' = a(ax + b)^{n - 1} が１例です。

生徒は白紙の状態なので、間違ったことは教えられないことは、非常に注意しています。

教えることは、しみじみ大変だなあと思いました。

リー代数

数学セミナーを読んでみたら、リー代数について書いてありました。

リー環とは、次の定義です。
リー環 g はある体 k 上のベクトル空間であって、括弧積と呼ばれる双曲型な積
g × g → g
(X, Y) → [X, Y]
が与えられており、次の条件を満たすときに言う。

(1) [X, X] = 0
(2) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0 （Jacobi律）

これが、19世紀末のSophus Lieによって考えられたリー環の定義です。


私はリー環をときどき耳にしますが、具体的にはどんな物までは知らなかったです。
環の１つだろうの認識です。
今でも、リー環の定義を見て、すぐには分からないです。


①体 k 上のベクトル空間とは

===== ベクトル空間の定義 =====
集合 V が条件「Ⅰ」「Ⅱ」を満たすとき、V をベクトル空間という。

「Ⅰ」任意の a、b ∈ V に対して、和 a + b ∈ V が定義される。
(1) (a + b) + c = a + (b + c)
(2) a + b = b + a
(3) a + 0 = a (∃0 ∈ V)
(4) a + x = 0 (∃x ∈ V)

「Ⅱ」任意の a ∈ V、任意の t ∈ V に対して、スカラー倍 ta ∈ V が定義される。
(5) t(a + b) = ta + tb
(6) (t + u)a = ta + ua
(7) (tu)a = t(ua)
(8) 1a = a

これがベクトル空間の定義です。


② g × g → g とは
===== 環の直積の定義 =====
環 R, S の集合として、直積 R × S = {(r, s) | r_t, r_u ∈ R, s_t, s_u ∈ S}
(r_t, s_t) + (r_u, s_u) = (r_t + r_u, s_t + s_u)
(r_t, s_t)(r_u, s_u) = (r_tr_u, s_ts_u)

これが環の直積の定義です。

③ (X, Y) → [X, Y] とは
括弧積とは、
集合 V が環 g をなすとき
[Σα_iX_i, Σβ_iY_i] = Σα_iβ_i[X_i, Y_i]
(α_i, β_i ∈ g, X_i, Y_i ∈ V)

これが括弧積の定義です。

２）、３）を満たすとき、双線形写像であります。


ここまでの、①、②、③を整理していみると
集合 V は、体 k 上のベクトル空間であって、環 g でもあります。
任意の a、b ∈ V なので、
環の直積は
a + b = b + a
a・b = b・a

なので g × g → g とは、
この「→」の部分が何を意味しているのかが分からないです。
====== 疑問 ======
g × g は直積を表していると思います。
環 x, y に置いて、写像 f を考えて、f: x → y とすると
「→」が写像を表していると意味が通じないです。
====== 疑問 ======

(X, Y) → [X, Y] とは、
[αa, βb] = αβ[a, b]
(α, β ∈ g, a、b ∈ V)


===== 整理 =====
リー環 g はある体 k 上のベクトル空間であって、括弧積と呼ばれる双曲型な積
g × g → g
(X, Y) → [X, Y]
が与えられており、次の条件を満たすときに言う。

つまり集合 V は、体 k 上のベクトル空間であって、環 g あります。
任意の a、b ∈ V 、g × g → g より
「？」
[αa, βb] = αβ[a, b]
(α, β ∈ g, a、b ∈ V)
を満たすこと

この他に、次の条件を満たすこと
(1) [X, X] = 0
(2) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0 （Jacobi律）

これが、リー代数です。

[X, X] = 0 と [X, Y] = -[Y, X] が同値であることをどのように導くのでしょうか？
ベクトルの外積を考えれば、自明でした。（自己解決をしました。）
a×a = 0
a×b = -b×a
がベクトルの外積の定理でした。

リー代数は、難しいです。

速さ（速度）

===== 速さについて =====
速さ = 距離 ÷ 時間　（小５の範囲）
で表すことが出来ます。

時速40(40km/h) は、１時間に 40km 走る意味です。
時速60(60km/h) は、１時間に 60km 走る意味です。

では、100km には、40km/h と 60km/h ではどれくらいの時間がかかるのか？
速さ = 距離 ÷ 時間　から　時間 = 距離 ÷ 速さ なので、
40km/h：100 ÷ 40 = 5/2 = 2 + 1/2 つまり ２時間３０分
60km/h：100 ÷ 60 = 5/3 = 1 + 2/3 つまり １時間４０分

世界陸上では、ウサイン・ボルト選手が、100m を 9.58秒、200m を 19.19秒を記録しました。
では、時速に直して計算をしてみましょう！
===== 100m =====
1km = 1000m より 0.1km = 100m
1時間 = 60分 = 60 × 60 秒 = 3600秒 より 9.58 / 3600時間
速さ = 0.1km ÷ (9.58 / 3600 時間) ≒ 37.58km/h
※小数第３位を四捨五入しています。

==== 200m =====
1km = 1000m より 0.2km = 200m
1時間 = 60分 = 60 × 60 秒 = 3600秒 より 19.19 / 3600時間
速さ = 0.2km ÷ (19.19 / 3600 時間) ≒ 37.52km/h
※小数第３位を四捨五入しています。

仮に、100m を 10.00秒 で走ると。
速さ = 0.1km ÷ (10.00 / 3600 時間) = 36km/h

時速に直すと、車のメーターをイメージが出来るので、その速さが少しだけイメージ出来ますね！
ボルト選手は (37 + α)km/h で走っていることが分かります。


===== 音速について =====
音の速度は、ご存知ですか？
音速は、「331.5 + 0.61t（tは摂氏温度）」です。
※１次関数は中２の範囲

-20度：331.5 + 0.61 * (-20) = 319.3 m/s
-10度：331.5 + 0.61 * (-10) = 325.4 m/s
0度：331.5 + 0.61 * 0 = 331.5 m/s
10度：331.5 + 0.61 * 10 = 337.6 m/s
20度：331.5 + 0.61 * 20 = 343.7 m/s
30度：331.5 + 0.61 * 30 = 349.8 m/s
40度：331.5 + 0.61 * 40 = 355.9 m/s

10度違えば、0.61 * 10 = 6.1 m/s 異なります。
20度の時は、343.7 m/s なので、1秒に 343.7m 進むことを意味します。


===== 対数について =====
対数について学んでみましょう！　（高校の数学Ⅱの範囲）
10^m の m の部分に注目をします。
log₁₀A について、log₁₀ を常用対数と言います。

log₁₀10 = log₁₀10¹ = 1
log₁₀100 = log₁₀10² = 2
log₁₀1000 = log₁₀10³ = 3
log₁₀10000 = log₁₀10⁴ = 4
log₁₀100000 = log₁₀10⁵ = 5
となります。

log₁₀(A * B) = log₁₀A + log₁₀B
log₁₀(A / B) = log₁₀A - log₁₀B
10^A * 10^B = 10^{(A + B)}
10^A / 10^B = 10^{(A - B)}
から成り立つのが分かります。
これ以外は、細かい計算のルールは、割愛します。

log_BA の B の部分を底（てい）と言います。
底を省略すると２つの意味があります。
log₁₀A（常用対数）、log_eA（自然対数）です。
高３以上の数学は場合は、自然対数を意味します。
天文学では、常用対数を意味します。

これは、何に便利かと言いますと、天文学の数字を扱う場合に便利です。


===== 光速について =====
光の速度をご存知ですか？
光速は、299,792,458 m/s（≒30万キロメートル毎秒）です。
「1秒間に地球を7回半回る速さ」とも言われます。

地球と太陽の距離は、1億4959万7870 km　です。

光速を1km に直すと、299,792,458 / 1,000 = 299,792.458 km/s となります。
では、太陽の光が地球に届く時間は、149,597,870(km) / 299,792.458(km/s) = 499.0047815 秒 ≒ 499秒 = 8分19秒


常用対数で表して見ましょう！
光速：log₁₀(299,792.458)(km/s) = 5.476820703(km/s) ≒ 5.48(km/s)
太陽と地球の距離：log₁₀(149,597,870)(km) = 8.17492541(km) ≒ 8.17(km)
※Excel の log10 関数より計算をしました。

では、太陽の光が地球に届く時間は、log₁₀(A / B) = log₁₀A - log₁₀B より
8.17 - 5.48 = 2.69
10^2.69 = 489.7788194 ≒ 490秒 = 8分10秒　（9秒の誤差）

正確に計算をしますと
8.17492541 - 5.476820703 = 2.698104707
10^2.698104707 = 499.0047814 ≒ 499秒 = 8分19秒

常用対数で計算をすると、なんとなくイメージがしやすいですね！


===== １光年について =====
１光年とは、光が１年で進む距離です。
１光年 = 1（年） * 365（日） * 24（時間） * 60（分） * 60（秒） * 299,792.458（距離） = 9,454,254,955,488 km

常用対数で表して見ましょう！
log₁₀(9,454,254,955,488)(km) = 12.97562731(km) ≒ 12.96(km)

10¹ = 10（0 が1つ）
10² = 100（0 が2つ）
10³ = 1000（0 が3つ）
なので、12.96 ≒ 13 と考えて、0が13個ある訳ですね！

アンドロメダ星雲は、約230万年光年の距離にあります。
log₁₀(2300000) = 6.361727836 ≒ 6.36
log₁₀(A * B) = log₁₀A + log₁₀B より
6.36 + 12.96 = 19.32

なので、km で表すと、0が19個ある距離に、アンドロメダ星雲があります。


===== 物理の速度について =====
速度 v、距離 x、時間 t とすると（大学１年の範囲）
関係式は、v = dx/dt と微分の形で表現が出来ます。

加速度 a とすると
関係式は、a = dv/dt = d²x/dt²


※ボルト選手の記録、音速、光速、太陽と地球の距離は、ウィキペディアからの数値です。

円周率

Yahooより円周率が２兆５７６９億８０３７万桁まで求めました。

数字は、自然数、整数、有理数、無理数、実数、複素数に分類されます。
※虚数以外にも四元数などもあります。

無理数は、代数的数と超越数に分類されます。
代数的数とは、n次方程式より求められる解のことを言います。
x² = 2 の解は x = ±√2
なので、√2 は代数的数となります。

円周率π、自然対数e は代数的数ではないので、超越数となります。
円周率πが超越数の証明は、PDF形式の数学ノートの「円周率πが超越数であることの証明」を参考にしてください。

原始的なπの求め方は、tan(π/4) = 1 より逆関数を考えて
tan^-1(1) = π/4 （tan^-1 はアークタンジェントと読む（大学生で習います））

tan^-1(x) をテイラー展開（大学生で習います）をすると、
tan^-1(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + x⁹/9 - ...
となるので、
π/4 = tan^-1(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...
これは、値の収束が遅いですが、これで求められます。


三角関数を応用して、発見したのがマチンの公式です。
π/4 = 4*tan^-1(1/5) + tan^-1(1/239)
※tan^-1(x) と arctan(x) は表し方がありますが、同じ式です。

マチンの公式は、コンピューターのプログラムとしてよく用いられます。
また、私のExcel VBA のプログラムもこのマチンの公式を使用しています。

夏休みの数学

スカイプをインストールが出来る方は、インターネット電話より数学のお話をしたいと思います。
※スカイプよりダウンロードが可能です。

対象は、決めていませんが、小・中・高の夏休みの数学より質問があれば、お答えします。

基礎解析学

時間があったので、基礎解析学を読んでいました。

・微分方程式
・ベクトル解析
・複素変数の関数
・フーリエ級数、ラプラス変換
が書かれている本です。

だいだい、大学２年生の程度です。
大学の１、２年の数学は、理工系の向けの内容なので、実用的なおもむきがある感じがします。
なので、証明を中心にという感じではなく。
高校の数学のように、演習を中心にする感じです。

数学セミナーの巻頭言で、大学１年生の講義を担当している方が微分積分学と線形代数学を担当して30年以上になるそうです。
講義の内容は、30年前とは本質的な部分では変わらないそうです。
ここ数年の高校の数学の教科内容が変わったので、影響を受けている感じの感想がありました。
計算例、応用例を多く取り入れ、”線形性”、微分可能性”などの基本概念が、応用面でも重要な強力な役割を果たす様子を、出来るだけ深く伝えたいようです。

こんな記事を読むと、数学は自然現象を表す道具のような気がします。
定理の証明が、すべての応用に役立つと教えるのは、現在の大学生には難しいようです。
個人的には、証明だけを授業で教えて、後々、学生が応用面で、「はっ！」と思えるような講義が理想ような感じです。

個人的には、数学は理論を組み立てることによって、成り立っている学問だと思っているので、定理の証明さえ教えていれば、いい感じがします。
逆に、応用範囲は広すぎて、伝えることは難しい感じがします。
応用範囲が広いからこそ、基礎理論が大事な気がします。

数学科と理工系だと、温度差はある感じがします。


数学が面白い部分は、実は数学は自由に考えることが出来る学問だから面白いと思う。
自分が考えたことを、理論によって証明すれば良いわけですから。

代数学の基本定理のように、n次方程式には重根を含んで n個の解が存在する。
事実、5次以上の方程式の一般解は存在しないが、どんな n次でも成り立つことが言える不思議な定理であります。


群・環・体を考えて、行列 A に対して、行列の複素数みたいな数はないだろうか？
成分は、複素数の範囲で考えます。
x² + 1 = 0 の解の１つを x = i と定めるように。
行列A に対して、A² = -E （E は単位行列）の解の１つを A = K （K を虚行列）のような感じです。
こんな行列A はないと思いますが、こんなことも考えていい訳で、これを自分の手で確認して、証明さえ与えればいい訳です。

あまりいい例ではないですが、数学は自由に考える学問だから、私は面白いと思います。

三平方の定理より

三平方の定理（ピタゴラスの定理）は「a² + b² = c²」ですよね！

有名なのが、
a：b：c = 3：4：5
a：b：c = 5：12：13
です。

3² + 4² = 9 + 16 = 25
5² = 25

5² + 12² = 25 + 144 = 169
13² = 169
より簡単に確かめられます。

ときどき、
√（3² + 4²）= √5² = 5
13² - 12² = 5²
などが頻繁に使われるので、覚えていても損がないです。


三平方の定理を満たす、整数解は、いくつあるかはご存知ですか？
a、b、c を互いに素とします。（互いに素は、最大公約数が１です。）
答えは、無限にあります。

m、n を正の整数とすると（m、nは互いに素）
a = |m² - n²|
b = 2mn
c = m² + n²

m = 2、n = 1 とすると
a = |2² - 1²| = |4 - 1| = 3
b = 2 * 2 * 1 = 4
c = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
あれ、「a：b：c = 3：4：5」となりました。

m = 3、n = 2 とすると
a = |3² - 2²| = |9 - 4| = 5
b = 2 * 3 * 2 = 12
c = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
あれ、「a：b：c = 5：12：13」となりました。

m、n は無数に数があるので、整数解は無限にあります。

m = 4、n = 3 とすると
a = |4² - 3²| = |16 - 9| = 7
b = 2 * 4 * 3 = 24
c = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
「a：b：c = 7：24：25」となりました。


ところで、三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明をご存知ですか？
頻繁に使いますが、意外と覚えていないものです。
ピタゴラスの定理の証明
これの＜証明２＞が私は好きです。

夏休みの数学の勉強

夏休みの数学の勉強について

＜中学生＞
中１・２は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。

中３は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。
受験する過去問を解く。　苦手な分野が分かれば、そこを復習する。

＜高校生＞
（文系）
高１・２は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。

高３は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。　標準問題を解く。
受験する過去問を解く。　苦手な分野が分かれば、そこを復習する。

（理系）
高１・２は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。

高３は、教科書の公式を復習する。
例題問題を解く。　標準問題を解く。
受験する過去問を解く。　苦手な分野が分かれば、そこを復習する。


数学が苦手な方は、例題問題の解答を見てから、解答を見ないで書けるまで練習する。

文系の方は、公式の証明は覚える必要がないので、図形的な意味を覚える。
例えば点と直線の公式の証明を覚える必要はないと思います。　点と直線をイメージが出来て、距離が求められることが分かればいいと思います。

理系の方は、時間があれば証明をきちんと覚える必要があります。
なぜならば、大学の数学は証明ばかりをするので、論証を養っておかないと大学に行ってから困るからであります。
当然、図形的な意味も覚える必要があります。

数学の世界

大卒の文系のある方から、私の数学の世界を教えて欲しいと言われました。
それで、私が持っている辞典からの項目を箇条書きにしました。

（大学の数学）
微分積分学
線形代数学
集合と位相空間
微分方程式
ベクトル解析
複素変数の関数
フーリエ級数・ラプラス変換
代数学入門（群・環・体）

（数学定理・公式小辞典より）
幾何学
微分・積分
複素関数
論理・集合・順序
代数学
位相空間
位相幾何学
微分幾何学
微分方程式
フーリエ解析
ルベーグ積分
グラフ理論
確率・統計
特殊関数

（岩波　数学辞典より）
数学基礎論・数理論理学
集合・位相・圏
代数学
群論
整数論
ユークリッド幾何学・射影幾何学
微分幾何学
代数幾何学
位相幾何学
解析学
複素解析学
関数解析学
微分方程式・積分方程式・関数方程式
特殊関数
数値解析
計算機数学・組合せ理論
確率論
統計数学
計画数学
力学・理論物理学
数学史


項目を箇条書きをしましたが、これを説明することは、とても難しいと思いました。

アンケート

私のブログは休みにも関わらず、訪れてくれる方がいます。
私のブログにどんな方が訪問しているか？
アンケートをしたいと思います。

＜アンケート＞
１）小学生
２）中学生
３）高校生
４）大学生
５）社会人
６）数学（理系）の関係者（大学院以上）

答え方は、右下のコメント欄の「コメント」に上記のいずれかを記入してください。
「名前」、「タイトル」、「URL」は無記入にしてください。

ブログの再開の時に参考にしたいと思います。

きらり輝くお星さま

===== 高校数学Ⅱ・B（点と距離） =====

ふっと、夜空を見上げて見る。
とても、綺麗な星だなとうっとりしてしまう。
あっ！　たしか、昨日は雨だったなあ。　今日の夜空は特に綺麗に見えた。

私は、ふっと４つの星に気を止めた。　・・・！
じっと眺めて見ていた。　まるで、夜空に吸い込まれて行くように・・・。

そうだ！　
星に名前をつけよう、A星、B星、C星、D星と・・・。

A星とB星の距離ABとC星とD星の距離CDは、どちらが長いのだろう・・・？　

また、じっと眺めていた。
そうだ！　
A星の位置を決めよう。　そして、B星・・・D星と・・・！
A星（X_a, Y_a）、B星（X_b, Y_b）、C星（X_c, Y_c）、D星（X_d, Y_d）という感じでいいかな・・・！

教科書に、距離の公式があったような・・・。
距離AB = √((X_b - X_a)² + (Y_b - Y_a)²)
距離CD = √((X_d - X_c)² + (Y_d - Y_c)²)
たしかこんな感じ。　それで、比較をすればいいのか


４つの星の中心にある星を見つけた。　そうだ！　これにも名前をつけよう。
O星とつけよう！
私は親指と小指を立ててみた。　この長さを　１　としよう。
えっと・・・。
O星からみて、A星は、左に２つ、上に３つかな・・・！？
O星からみて、B星は、右に１つ、上に２つかな・・・！？
O星からみて、C星は、左に２つ、下に１つかな・・・！？
O星からみて、D星は、右に１つ、下に３つかな・・・！？

位置にすると、どうなるのかな・・・！？
A星（-2, 3)、B星（1, 2)、C星（-2, -1)、D星（1, -3)となった。
ふむふむ。　ここで、数字をいれて少し満足する。

距離AB = √((1-(-2))² + (2-3)²) = √(3² + (-1)²) = √(9 + 1) = √10
距離CD = √(1-(-2))² + ((-3)-(-1))²) = √(3² + (-2)²) = √(9 + 4) = √13

そっか。　距離CDの方が距離が長いのかぁ・・・！

私は、星に願いを込めて、数学が出来るようになりますように・・・。
お星さまにお祈りをした。　（あっ！　その瞬間に流れ星が・・・）　

文系数学

高校数学を色々なことを考えています。

最近は特に文系数学を考えています。
文系の方は、数学をどのように学んでいるのでしょうか？
まじめに数式をそのまま書くと、かなり抵抗がありますよね！

どんな風に工夫をして、高校数学を学んでいるのでしょうか？

ちょっと思ったのは、物語風の数学の解説書があるといいなあと思いました。

家庭教師について

数学の家庭教師を始めました。
高校生です。　学年・性別は、個人情報があるので・・・。

高校数学は、久しぶりです。
頑張りたいと思います。

会話

あるAさんとの会話

私：数学をどう教えようか？
Aさん：う－ん！
私：「咲いたコスモスコスモス咲いた」はどうかな？
Aさん：真剣に考えてよ！　（怒る！）
私：真剣だよ！
私：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) 「咲いたコスモスコスモス咲いた」だよ！
Aさん：あっそ！　分かり易く教えあげるといいよ！
私：三角関数の加法定理の覚え方だよ！
Aさん：分かった！

いきなり、「咲いたコスモスコスモス咲いた」と言われると、何を花の話をしてるのだと思うのでしょうね！
こういう語呂合わせで、教えると面白いですよね！

sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(x) 「咲いたコスモスコスモス咲いた」
cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) 「コスモスコスモス咲いた咲いた」