東大数学 前期(2009)_(4)

＜④の問題＞
a を正の実数とし、
空間内の２つの円板
D₁ = { (x, y, z) | x² + y² ≦ 1, z ＝ a},
D₂ = { (x, y, z) | x² + y² ≦ 1, z ＝ -a}
を考える。
D₁ を y 軸の回りに 180°回転して、D₂ に重ねる。
ただし、回転は z 軸の正の部分を x 軸の正の方向に傾ける向きとする。
この回転の間に D₁ が通る部分を E とする。
E の体積を V(a) とし、E と { (x, y, z) | x ≧ 0} との共通部分の体積を W(a) とする。

(1) W(a) を求めよ。
(2) lim_{a → ∞}V(a) を求めよ。


＜解答＞
(1)
平面 y = k (-1 ≦ k ≦ 1) による D₁ の切り口は、x² + k² ≦ 1, z = a より
180°回転させると、外の円は半径 1、内の円の半径 k² の間の部分となり
x ≧ 0 の部分の面積は、π/2・(1 - k²)


(2)
E の x ≦ 0 の部分の体積をU(a)、面積をS(k) とする。
半径 1 と半径 k² の差の部分を S(k) とする。
S(k) は、２つの孤の差の面積なので、そこの部分の長方形の T(k) を考える。
S(k) ≦ T(k) = 2√(1 - k²)(√(1 - k² + a²) - a) = 2√(1 - k²)(1 - k²) / (√(1 - k² + a²) + a) = 2(1 - k²)^3/2 / (√(1 - k² + a²) + a)
≦ 2(1 - k²)^3/2 / a = 2/a・(1 - k²)^3/2

・・・①
a → ∞ のとき、①の最右辺 → 0 だから、はさみうち原理より、U(a) → 0
∴ V(a) → W(a) = 2/3・π


＜解説＞
点の軌跡より、曲線を求める問題は多いと思います。
今回は、空間の面積の軌跡より体積を求める問題になります。
なので、軌跡の問題に慣れる必要があります。

また、(x, y, z) の空間をイメージする問題です。
求める体積は、面積を積分することを使っています。
さらに、(2) では、はさみうちの原理を使っています。

軌跡・空間・積分の融合問題なので、苦手な分野があると点数が取れないと思います。