１．まえがき
微分方程式
x²y''+xy' -y=(logx)²・・・・①
を解く問題があった。
２．計算
(x²y')'=x²y''+2xy' , (xy)'=xy'+y
なので①は
(x²y')'-(xy)'=(logx)²
補題(b)を使って両辺を積分すると
x²y' -xy=x( (logx)²-2logx+2 )+A・・・・・②
ここで
x²y' -xy=x³(y/x)'
だから②に入れて両辺をx³で割ると
(y/x)'=( (logx)²-2logx+2 )/x²+A/x³
この両辺を積分すると補題(c)を使って
y/x=-(logx)²/x＋2∫(logx)/x²dx－2∫(logx)/x²dx＋∫2/x² dx＋∫A/x³ dx+B
=-(logx)²/x-2/x-(A/2)/x²+B
=-(logx)²/x-2/x+A/x²+B
ここで、Aは任意定数だから、-A/2 → Aと書き直した。
したがって
y=-(logx)²-2+A/x+Bx
３．補題
(a) logx・1 の部分積分から
∫logx dx=x(logx-1)
(b) logx・logxを部分積分して、(a)を使うと
∫(logx)²dx=(logx)x(logx-1)-∫(1/x)x(logx-1)dx
=x((logx)²-logx)-∫(logx-1)dx=x((logx)²-logx)-x(logx-1)+x
=x( (logx)²-2logx+2 )
(c) (logx)²・1/x²を部分積分すると
∫(logx)²/x² dx=(logx)²(-1/x)-∫{(2logx)/x}(-1/x)dx
=-(logx)²/x+2∫(logx)/x²dx
なお、今回積分は不要だが参考で
∫(logx)/x²dx=(logx)(-1/x)-∫(1/x)(-1/x)dx=-(logx)/x+∫dx/x²=-(logx)/x-1/x
また
∫(logx)/xdx=(logx)²-∫(1/x)logx dx → 2∫(logx)/xdx=(logx)²
→ ∫(logx)/x dx=(logx)²/2
以上
