１．まえがき
一定磁界中の点電荷の相対論的運動は円運動になることが知られているが、運動方程式
が解けることがわかった。
２．計算
点電荷の質量、電荷、速度を m0, q, u (u=|u|)、磁界を B、光速度を cとする。またロー
レンツ因子を
γ(u)=1/(1-u2/c2)1/2
とし、「'」を時間微分とすると運動方程式は
m0(γ(u)u)'=qu×B・・・・・①
となる。ここで、両辺に uの内積を取ると
(u×B)・u=(u×u)・B=0
なので
(γ(u)u)'・u=0・・・・・②
となる。ここで
(γ(u)u)'=γ(u)'u+γ(u)u'={ (u/c2)u'/(1-u2/c2)3/2 }u+γ(u)u'
なので②は u・u=u2 なので
γ(u){ (u/c2)u'/(1-u2/c2) }u2+γ(u)u'・u=0
→ γ(u){ (u2/c2)/(1-u2/c2)(u'u)+u'・u }=0
ここで
u'・u=(u・u/2)'=(u2/2)'=u'u
だから
γ(u){ (u2/c2)/(1-u2/c2)+1 } (u²/2)'=0 → { γ(u)/(1-u2/c2) } (u²/2)'=0
したがって
(u2/2)'=0 → u2=定数 → u=定数
すると、γ(u)も定数なので微分の前に出せて①は
m0γ(u)u'=qu×B
となる。
この式は、m₀ → γ(u)m₀ とした、非相対論的電荷の運動方程式に一致し、この解は等速
円運動をして周期Tは
T=2πm0γ(u)/qB
となることは周知。
当然、uは定数なので、初速度のままとなる。
なお、v が B と平行成分を持てば螺旋運動になるが、軌道の射影は円運動である。
これは前に述べた記事で a=0 (E=0) とした場合である。
以上
