y''+y=1/cos(x) の特殊解の求め方

y''+y=1/cos(x) の特殊解を求める。

y''+y=0 の一般解 (A sin x+B cos x) は周知。そこで微分演算子法で特殊解を求めて和を
取れば元の式の一般解となる。

　　　(D²+1)y=1/cos x → y={1/(D²+1)}/cos x　→ y=(1/2i) {1/(D-i)-1/(D+i)}/cos x

そこで、y₁={1/(D-i)}/cos x , y₂={1/(D+i)}/cos x　とすれば、 形式的に
　　　y=(1/2i)(y₁-y₂)
となる。

方程式を元に戻すと
　　　(D-i)y₁=1/cos x → y₁'-iy₁=1/cos x
である。これは線形微分方程式 y'+P(x)y=Q(x) であり、この解は
　　　y=exp(-∫Pdx){∫Qexp(∫Pdx)dx+C}
と分かっている。すると
　　　y₁=exp(ix)[∫{exp(-ix)/cos x}dx+C]
ここで、u=exp(-ix) と変数変換すると
　　　cos x=((1/u)+u)/2=(u²+1)/(2u)、-iexp(-ix)dx=du
であり

　　　y₁={exp(ix)/(-i)}[∫2udu/(u²+1)+C]=i{exp(ix)}[log(u²+1)+C]
　　　　=i{exp(ix)}[log{(u+1/u)/2}+log u+log 2 +C]
ここで、Cは任意だから log 2+C=0 にとって簡単にすると

　　　y₁=i{exp(ix)}[log(cos x)-ix]=i{exp(ix)}[log(cos x)+x/i]
同様に i → -i として
　　　y₂=-i{exp(-ix)}[log(cos x)+ix]=-i{exp(-ix)}[log(cos x)-x/i]

ゆえに
　　　y=(y₁-y₂)/(2i)=(cos x)log(cos x)+xsin x
となる。これは形式的な解なので、もとの微分方程式に代入すれば（特殊）解であることが確認
できる。

以上