lim[x→0] { (e^x-1)/x }^(1/x)=√e の証明方法

１．まえがき

　下記の極限を級数展開やロピタルの定理を使わずに求めよ。という問題があった。
　　　lim[x→0] { (e^x-1)/x }^(1/x) = √e　(x≠0)・・・・・①

２．仮定

　設定がよくわからないが、何かの前提を決めないと求められないはずなので
　　　(1+1/x)^x → e  (x → ∞)
　つまり、
　　　(1+x)^(1/x) → e  (x → 0)　・・・・・・・・・②
　を使う。
　なお、級数展開というのはランダウの o記号を使った級数と思われる。

３．計算

　まず、x → 0 なので、0 < |x| < 1 として議論してよい。

　3.1　0 < x < 1 のとき

　　　　1+x+x²/2 < e^x < 1+2x/(2-x)　・・・・・・・③
　　が成り立つ。証明は４項。すると与式から 
　　　　{ 1+x/2 }^(1/x) < { (e^x-1)/x }^(1/x) < { 2/(2-x) }^(1/x) 
　　が成り立つ。左辺は②により
　　　　{ 1+x/2 }^(1/x) = { ( 1+x/2 )^(2/x) }^1/2  → e^1/2 
　　となる。

　　右辺は
　　　　{ 2/(2-x) }^(1/x) = 1/{ (1-x/2)^(-2/x) }^-1/2  → 1/e^-1/2 = e^1/2   
　　となり、挟み撃ちから、①が証明された。

　3.2　-1 < x < 0 のとき
　　　
　　y=-x とおくと、0 < y < 1, y → 0 となる。さらに
　　　　{ (e^x-1)/x }^(1/x) = { (e^-y-1)/(-y) }^(-1/y) = 1/{ e^-y(e^y-1)/y }^(1/y) 
　　　　　　= e/{ (e^y-1)/y }^(1/y)  → e/√e=√e  (3.1項から)
　　したがって、x < 0 でも①が証明された。

　　以上により、x≠0 について、①が証明された。

４．不等式③の証明

　1+x+x²/2 < e^x (x>0) の証明は、マクローリン展開から自明だが、級数展開を使用せずと
　のことなので、定石に基づき証明する。
　　　f(x)=e^x-(1+x+x²/2)
　とおく。すると f(0)=0 であり、f(x) > 0 (x > 0) を示せばよい。
　　　f'(x)=e^x-(1+x) , f'(0)=0
　　　f''(x)=e^x-1 , f''(0)=0
　　　f'''(x)=e^x > 0
　となる。順次、遡ると f''(x) > 0 → f'(x) > 0 → f(x) > 0 が得られた。

　つぎに、e^x < 1+2x/(2-x) (x>0) を証明する。
　　　g(x)=1+2x/(2-x)-e^x 
　とおく。すると g(0)=0 であり、同様に、g(x) > 0 (x > 0) を示せばよい。このとき
　2x/(2-x)=-2+4/(2-x) なので
　　　g'(x)=4/(2-x)²-e^x , g'(0)=0
　　　g''(x)=8/(2-x)³-e^x , g''(0)=0
　　　g'''(x)=24/(2-x)⁴-e^x , g'''(0)=3/2-1=1/2
　　　g⁽⁴⁾(x)=24・4/(2-x)⁵-e^x , g⁽⁴⁾(0)=3-1=2
　ここで、24・4/(2-x)⁵ > 3 , e^x < 3 (x < 1) なので、g⁽⁴⁾(x) > 0 となり、同様に、順次、遡って
　g(x) > 0 が得られる。

　なお、e^x < 1+2x/(2-x) の関係の導出の根拠であるが、級数展開から (x < 1 に注意して)
　　　e^x =1+x+x²/2+x³/3!+･･･+xⁿ/n!+･･･ < 1+x+x²/2+x³/2²+･･･+xⁿ/2^n-1+･･･
　　　　　　=1+x{1+x/2+(x/2)²+･･･+(x/2)^n-1+･･･}=1+x/(1-x/2)=1+2x/(2-x)
　を得る。

以上