f(x)=sin(x)+sin(y)+sin(x+y) の極値を求める

１.　はじめに

　　　f(x,y)=sin(x)+sin(y)+sin(x+y) (0≦x,y＜2π・・・・①)
　の極値を求める問題があった。この場合、鞍点や変曲点の判定が難しかったので考察した。

　最大最小値の問題は以前にあったが、有界閉集合上の連続関数は必ず、最大最小が存在し、
　微分可能関数なら、極値でもあるので、停留点の候補を比較すればよく簡単だった。

２.　計算

　まず、停留点は
　　　fx=cos(x)+cos(x+y)=０、fy=cos(y)+cos(x+y)=０・・・②
　であり、

　　　fxx＝－sin(x)－sin(x＋y)、fyy＝－sin(y)－sin(x＋y)
　　　fxy＝－sin(x＋y)
　である。

　まず、②の2式は和積の公式から
　　　cos(x+(y/2))cos(y/2)=cos(x/2+y)cos(x/2)=0
　これを解くと

　　　x+(y/2)=π/2+mπ　または、y/2=π/2+nπ・・・・④
　かつ
　　　x/2+y=π/2+kπ　または、x/2=π/2+pπ　・・・・⑤
　を得る（m,n,k,p は整数）。

　つまり、これを分解整理すると、つぎの４種類になる。
　　　x+(y/2)=π/2+mπ かつ x/2+y=π/2+kπ・・・⑥
　または
　　　x+(y/2)=π/2+mπ かつ x/2=π/2+pπ　・・・⑦

　または
　　　y/2=π/2+nπ　かつ x/2+y=π/2+kπ・・・⑧
　または
　　　y/2=π/2+nπ　かつ x/2=π/2+pπ　・・・⑨

　の場合を解けばよい。

　2.1 ⑥を整理すると

　　　　x=π/3+(2m-k)2π/3、y=π/3+(2k-m)2π/3
　　となる。このとき、①の条件から、x の (2m-k) は 0,1,2 しか無い。

　(a) 2m-k=0 のとき
　　　　x=π/3, y=π/3+(3m)2π/3=π/3+2πm=π/3 (①からm=0のみ)
　　　　fxx=fyy=-√3、 fxy=-(√3)/2 , fxx
　　なので、f(π/3,π/3)=(3√3)/2 で極大。

　(b) 2m-k=1 のとき
　　　　x=π、y=y=π/3+(3m-2)2π/3=-π+2πm=π (①からm=1のみ)
　　fxx=fyy=fxy=0 なので判別式は使えない。そこで、x=y の方向のf の変化を考える。

　　　　f(x,x)=2sin(x)+sin(2x)=2sin(x)(1+cos(x))=sin(x)cos²(x/2)
　　なので（ここで、倍角・半角の公式を使用した）、x=πの前後で sin(x) によって、f()の
　　符号が変化する。つまり、この場合は極値ではない。

　　なお、変化方向として、y=π, x=π, y=2π-x のいずれも f=0 となるので、簡単なものは
　　上の場合しかない。

　(c) 2m-k=2 のとき
　　　　x=5π/3, y=π/3+(3m-2)2π/3=-7π/3+2πm=5π/3　(①からm=2のみ)

　　　　fxx=fyy=√3、 fxy=(√3)/2 , fxx＞0, fxxfyy-fxy²=3-3/4＞0
　　なので、f(5π/3,5π/3)= -(3√3)/2 で極小。

　2.2 ⑦を整理すると

　　x=(2p+1)π, y=-π+(m-2p)2π となり、➀の条件を満たすものは p=0 のみ。つまり、
　　x=π、y=-π+2mπ=π (①からm=1のみ)
　　したがって、この条件は x=y=πで、2.1項の(b)と同じとなる。

　　⑧の場合は、⑦でx,yを変更しただけの式であるが、⑦の結論は x=y=π だから、ここの結
　　論と同じになる。

　2.3 ⑨を整理すると

　　　　y=π(1+2n)　かつ x=π(1+2p)
　　となり、いずれも、①を満たすのは n=p=1 の場合のみで、x=y=π　となり、2.2項と同じ
　　結論となる。


　　結局、極値は 2.1項の(a)(c)のみとなる。そして、これが最大最小値でもある。

以上