スプリングとリンク（その３）

スプリングを使った遊具と前述の木馬との大きな違いはそれらの系の重心の軌跡です。スプリングを用いた遊具では図に示すように地上から鉛直方向に立てたスプリングに質量が集中した系と看做せます。

バネが外力を受けて撓むとき、バネの大きな変形は初等関数では表現できず、楕円関数で表されることが知られています。しかし工学的には図に示すようにゼンマイと棒の先端に取り付けられた質量の系と近似しても大きな誤差は生じません。この場合、質量Mが動く軌跡は円周上にあります。

ぜんまいの中心から質量までの距離をｒとし、質量Mが丁度鉛直上方にある場所を原点と仮定します。回転方向に力を加えて角度θだけ回転したとすると巻き戻す方向に弾性力のモーメント
N(θ)＝-kθ
が働きます。負号は、ゼンマイを巻いた向きと反対方向に力が働くことを意味し、kは比例定数です。そしてゼンマイを角度θだけ巻いた時の位置エネルギーは次の式で表せます。
V1(θ)=kθ^2/2
一方、質量 はゼンマイに取り付けられた棒の角度によって位置エネルギーが変化し、これは次のように表すことが出来ます。
V2(θ)=-mgr(1-cosθ)
系全体の位置エネルギーは従って両者の和で表せます。
U(θ)=V1(θ)+V2(θ)
この系を考察するために、例として2.5Ｎ・ｍ/度のバネ定数のゼンマイ（捻りバネ）を取り上げます。ＳＩ単位系では約143Ｎ・ｍ/ラジアンです。地上にこのゼンマイを取り付け、長さ0.5mの腕の先に質量15kg、30kg、60kgを取り付け、鉛直軸から測って時計方向を正、反時計を負とします。このときバネのポテンシャルエネルギー、それぞれの質量を付けた腕のポテンシャルエネルギーをプロットすると以下の図になります。

次にバネとそれぞれの質量を持った棒を合成させた系全体のポテンシャルのグラフを描いてみると以下のようになるでしょう。
15kgの場合。

30kgの場合。

そして60kgの場合。

上のグラフから分かるのは体重15ｋｇ程度の幼児ならば大きく振ってもバネの復元力が勝り、原点に復帰出来ますが、現実的には幼児がこの系において大きな角度まで振らせることはありえないでしょう。30kg程度の児童の場合、復元力が殆ど働かないので揺らして遊ぶことは困難になります。
大人の体重を60kgとすれば、グラフから明らかなように横倒しなった状態でポテンシャルが最小になるので、この状態が一番安定ですが、これはとりもなおさず「大人は使用禁止」を意味します。

一般には幼児の体重を想定してスプリングを設計しますが、公園等の公共の場所では大人の使用を規制することが難しいことはYouTubeの動画で分かります。大人が乗った場合、バネの素線に想定以上の応力が加わることになりますが、そもそもコイルスプリングは屈曲させて使用することを目的としていないのです。使用頻度が高い場合には金属疲労からバネが破損する事故が後を立たないのです。目視で亀裂等を発見することが難しく、安全面から言ってこれがスプリング遊具の最大の欠点です。

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