（489）「選言導入」と「仮言命題の後件」と「ルカジェヴィッツの公理１」と「連言除去」。

（01）
Ｐ→Ｑ≡ＰならばＱである。
といふを「形式」の「命題」を『仮言命題』といふ。
（02）
Ｐ→Ｑ≡ＰならばＱである。
に於ける、
Ｐを「前件（前提）」といひ、
Ｑを「後件（結論）」といふ。
然るに、
（03）
『選言導入』といふのは、
この規則（選言導入）は、推論の中で意識されることがおおよそないといえます。「彼女は背が高い」という主張をＰとしましょう。すると、このＰから「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」が導けます。この場合、主張Ｑは「彼女は美人だ」に対応しています。しかし、「彼女は背が高い」がわかっているのに、わざわざ、「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」とつなげる場面は普通の会話ではあまりないでしょう。数学の証明でも、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします。しかし、あとで解説しますが、この推論規則は、他の大事な規則を導く礎になります。
（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１５６頁）
従って、
（03）により、
（04）
１（１）彼女は背が高い。　　　　　　　　　　　　　　　仮定
１（２）彼女は背が高いか、または　彼女は美人である。　選言導入
といふ「推論規則」を、『選言導入』といふ。
従って、
（04）により、
（05）
「記号」で書くと、
１（１）　Ｐ　　　Ａ
１（２）　Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
といふ「推論規則」を、「∨Ｉ（選言導入）」といふものの、
１（１）　　　Ｑ　Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
であっても、もちろん、「∨Ｉ（選言導入）」である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　イＤＮ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　７カＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（06）により、
（07）
① 　Ｐ→Ｑ≡ＰならばＱである。
② ～Ｐ∨Ｑ≡Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② であり、この「等式」を、『含意の定義』といふ。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
（ⅲ）
１　（１）　　　　　Ｑ　　仮定
１　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　１選言導入
１　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　２含意の定義
　　（４）Ｑ→（Ｐ→Ｑ）　１条件法
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅳ）
１　（１）　　　　　Ｐ　　仮定
１　（２）　　～Ｑ∨Ｐ　　１選言導入
１　（３）　　　Ｑ→Ｐ　　２含意の定義
　　（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１条件法
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（10）
　　ルカジェヴィッツによる公理
（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）　
これはフレーゲが提出した６つの公理を簡単にしたものである。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｑであるならば（ＰであるならばＱである）。
④ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡Ｑであるならば（ＱであるならばＰである）。
に於いて、
④ は「ルカジェヴィッツによる公理１」そのものである。
といふことからも、分かるやうに、これらの「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）
といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
③ Ｑ→（真→Ｑ）
③ Ｑ→（偽→Ｑ）
といふ「式」が「真」である。
といふ、ことである。
然るに、
（13）
③ Ｑ→（真→Ｑ）
③ Ｑ→（偽→Ｑ）
といふ「式」が「真」である。
といふ、ことは、
③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｑであるならば（Ｐであらうと、Ｐでなからうと、Ｑである）。
といふことに、他ならない。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｑであるならば（Ｐであらうと、Ｐでなからうと、Ｑである）。
④ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである）。
に於いて、これらの「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）（14）により、
（15）
③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）≡Ｑであるならば（Ｐであらうと、Ｐでなからうと、Ｑである）。
④ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである）。
に於いて、これらの「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
③「任意の命題Ｑ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「後件」である。
といふことを、意味してゐる。
従って、
（10）（15）により、
（16）
③「ルカジェヴィッツの公理１」は、
③「任意の命題Ｐ」は、「任意の仮言命題のＱ→Ｐ」の、「後件」である。
といふことを、意味してゐる。
従って、
（16）により、
（17）
（ⅲ）
１（１）　　　Ｑ　仮定
１（２）　Ｐ→Ｑ　仮言命題
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（05）（17）により、
（18）
（ⅲ）
１（１）　　　Ｑ　仮定
１（２）　Ｐ→Ｑ　仮言命題
１（３）～Ｐ∨Ｑ　含意の定義
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（18）により、
（19）
③ Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「連式（sequent）」、すなはち、
③ Ｑである。故に、Ｐでないか、または、Ｑである。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（20）
③ Ｑである。故に、Ｐでないか、または、Ｑである。
といふことは、
③ Ｑではあるが、Ｐであるのか、Ｐでないのかは、分からない。
といふ、ことである。
従って、
（15）～（20）により、
（21）
③「任意の命題Ｑ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「後件」である。
といふことは、要するに、
③ Ｑであるとすれば、Ｑであるが、Ｐであるのか、Ｐでないのかは、分からない。
といふ、ことである。
然るに、
（22）
③ Ｑであるとすれば、Ｑであるが、その際に、Ｐであるのか、Ｐでないのかは、分からない。
といふことは、「当然」である。
従って、
（21）（22）により、
（23）
③「任意の命題Ｑ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「後件」である。
といふことは、むしろ、「当然」である。
然るに、
（24）
③「任意の命題Ｑ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「後件」である。
といふことと、
④「任意の命題Ｐ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「前件」である。
といふことは、決して、「同じ」ではない。
（25）
（ⅳ）
１　（１）　Ｐ　　　仮定
　２（２）～Ｐ　　　仮定
　２（３）～Ｐ∨Ｑ　２選言導入
　２（４）　Ｐ→Ｑ　３含意の定義
１２（５）　　　Ｑ　１４前件肯定
といふ「推論」が「妥当」であるならば、
④「任意の命題Ｐ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「前件」である。
といふ「命題」は、「真」である。
然るに、
（26）
「推論（ⅳ）」は、
④ Ｐ，～Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（sequent）」、すなはち、
④ Ｐであるが、Ｐでない。故に、Ｑである。
といふ「推論」に、「等しい」。
従って、
（27）
④ Ｐであるが、Ｐでない。
といふ「矛盾」は、絶対に、有り得ない。
従って、
（24）～（27）により、
（28）
③「任意の命題Ｑ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「後件」である。
といふ「命題」は、「真」であるが、
④「任意の命題Ｐ」は、「任意の仮言命題のＰ→Ｑ」の、「前件」である。
といふ「命題」は、「矛盾」を含み、それ故、「真」ではなく、「偽」である。
（29）
（ⅴ）
１　（１）　　　Ｑ　仮定
１　（２）～Ｐ∨Ｑ　１選言導入
１　（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義
　４（４）　Ｐ　　　仮定
１４（５）　　　Ｑ　３４前件肯定
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（30）
「推論（ⅴ）」は、
⑤ Ｑ，Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（sequent）」、すなはち、
⑤ Ｑであって、Ｐである。故に、Ｑである。
といふ「推論」に「等しい」。
然るに、
（31）
（ⅵ）
１（１）Ｑ＆Ｐ　仮定
１（２）Ｑ　　　１連言除去
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（32）
「推論（ⅵ）」は、
⑥ Ｑ＆Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（sequent）」、すなはち、
⑥ Ｑであって、尚且つ、Ｐである。故に、Ｑである。
といふ「推論」に「等しい」。
然るに、
（33）
⑤ Ｑであって、　　　　Ｐである。故に、Ｑである。
⑥ Ｑであって、尚且つ、Ｐである。故に、Ｑである。
に於いて、
⑤ と ⑥ は、「同じ」である。
従って、
（29）～（33）により、
（34）
（ⅴ）
１　（１）　　　Ｑ　仮定
１　（２）～Ｐ∨Ｑ　１選言導入
１　（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義
　４（４）　Ｐ　　　仮定
１４（５）　　　Ｑ　３４前件肯定
といふ「推論」は、
⑥ Ｑ＆Ｐ├ Ｑ
⑥ Ｑであって、尚且つ、Ｐである。故に、Ｑである。
といふ「推論（連言除去）」の「妥当性」を「（半分だけ）証明」してゐる。
といふ風に、言へないこともない。