三平方の定理より

三平方の定理（ピタゴラスの定理）は「a² + b² = c²」ですよね！

有名なのが、
a：b：c = 3：4：5
a：b：c = 5：12：13
です。

3² + 4² = 9 + 16 = 25
5² = 25

5² + 12² = 25 + 144 = 169
13² = 169
より簡単に確かめられます。

ときどき、
√（3² + 4²）= √5² = 5
13² - 12² = 5²
などが頻繁に使われるので、覚えていても損がないです。


三平方の定理を満たす、整数解は、いくつあるかはご存知ですか？
a、b、c を互いに素とします。（互いに素は、最大公約数が１です。）
答えは、無限にあります。

m、n を正の整数とすると（m、nは互いに素）
a = |m² - n²|
b = 2mn
c = m² + n²

m = 2、n = 1 とすると
a = |2² - 1²| = |4 - 1| = 3
b = 2 * 2 * 1 = 4
c = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
あれ、「a：b：c = 3：4：5」となりました。

m = 3、n = 2 とすると
a = |3² - 2²| = |9 - 4| = 5
b = 2 * 3 * 2 = 12
c = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
あれ、「a：b：c = 5：12：13」となりました。

m、n は無数に数があるので、整数解は無限にあります。

m = 4、n = 3 とすると
a = |4² - 3²| = |16 - 9| = 7
b = 2 * 4 * 3 = 24
c = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
「a：b：c = 7：24：25」となりました。


ところで、三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明をご存知ですか？
頻繁に使いますが、意外と覚えていないものです。
ピタゴラスの定理の証明
これの＜証明２＞が私は好きです。