統計技術 第Ⅲ部：第2章 多変量記述統計（４）

統計技術 第Ⅲ部：第2章 多変量記述統計（４）
第2章-３：Part and Partial correlation coefficient（部分・偏相関係数）

前章前項（ 第2章-2）では、偏相関係数（Partial correlation coefficient）について紹介したが、これについては
杉本典夫先生（統計学入門の著者）で詳しく解説されているので下記URLを参照されたい．
　http://www.snap-tck.com/room04/c01/stat/stat06/stat0602.html#note02

上記URLでは偏相関係数と部分相関係数について解説されているが、
ここでの統計技術では前章前項（ 第2章-2）の例題をExcel 関数でやってみよう．

例題のデータによるは単相関係数と部分相関係数は図１の通りである．
図１　単相関係数と部分相関係数（Excel 形式）

ここで、
単相関係数の関数式：
　X,Y =CORREL(A2:A6,B2:B6)
　X,Z =CORREL(A2:A6,C2:C6)
　Y,Z =CORREL(B2:B6,C2:C6)

部分相関係数の関数式：
　X,Z =(B9-B10*B8)/SQRT(1-B8^2)→Y の影響を除いた X と Z の相関
　Y,Z =(B10-B9*B8)/SQRT(1-B8^2)→X の影響を除いた Ｙ と Z の相関

次に、
偏相関係数をみてみよう．
X、Y、Zの３つの変数間において、Y又はXの影響を調整すると、「ＸとZ」又は「YとZ」の相関はどうなるのか・・である．
同じ例題のデータ（図１）を使て Excel 関数でやってみよう．

 図２　Excel 関数による方法

回帰係数 の
βxは Xを従属変数、Zを説明変数とする回帰分析の勾配係数で、αxはその切片係数、
βyは Yを従属変数、Zを説明変数とする回帰分析の勾配係数で、αyはその切片係数

Excel 関数は次の通りである．
　=SLOPE(A7:A11,C7:C11). =INTERCEPT(A7:A11,C7:C11)
　=SLOPE(B7:B11,C7:C11). =INTERCEPT(B7:B11,C7:C11)

そして、この係数から、
変数Xと変数Yの予測値は「Pred.XとPred.Y」であり、実測値と予測値の差が「X-Pred.X と Y-Pred.Y」であり、
「X-Pred.X と Y-Pred.Y」の相関係数が偏相関係数（r[xy,z]）≒-0.5414 となる．

偏相関係数（r[xz,y] と r[yz,x]）は図２のデータを入れ替えれば簡単に計算できる．
すなわち、
r[xz,y] は ｙ 列データを ｚ 列データに入れ換えでば→ r[xz,y]≒0.6054
r[yz,x] は x 列データを ｙ 列データに、ｙ 列データを ｚ 列データに入れ換えれば→ r[xz,y]≒06428

となる．

 

統計技術 第Ⅲ部：第2章 多変量記述統計(3)

統計技術 第Ⅲ部：第2章 多変量記述統計
第2章-2：Trivariate Descriptive Statistics （三変量記述統計）

３変量の場合の統計量記述について、ここでのOnline Culclator が参考になるかも知れない．

● Free Statistics Software (Calculator) - Web-enabled scientific services & applications 
 https://www.wessa.net

「Wessa.net」のTop ページから、
Descritive Statistisc を選択
↓
下方にスクロースして、
↓
図１：Trivariate Descriptive Statistics 

↓
Partial Correlation を選択
↓
Compute をクリック

図1　出力結果：３変数間の偏相関係数

次に図1から、
Trivaliate Scatterplots を選択
↓
Compute をクリック
↓
図２　出力結果：３変数間の散布図

 

前回の回帰分析について(補足)

第2章-1（続き）Bivariate Descriptive Statistics （二変量統計記述）
● 「Linear Regression Graphical Model Validation」に関して、杉本典夫先生（統計学入門の著者）からのコメントをご紹介します（原文のまま）

重箱の隅を突くようなコメントで恐縮ですが、回帰分析(回帰直線)と相関分析(相関係数)はよく同じデータに対して用いられます。
でも実は、
これらは相反する前提で構築された手法なので、厳密に言えば同じデータには適用できません。
大雑把に言えば、
回帰分析は説明変数X(原因項目)は研究者が特定の値を指定するので誤差がなく、目的変数Y(結果項目)はその結果を観察するので誤差がある、という前提で手法を構築しています
(説明変数にも誤差がある時は、回帰係数が BLUE(Best Linear Unbiased Estimator、最良線形不偏推定量)ではなくなります)。
例えば
薬剤の用量を研究者が指定し、その反応を観察した時の用量−反応データを解析する用量−反応解析が代表的です。
それに対して、
相関分析は2つの項目の間に相互関連性(お互いに影響を与え合っている状態)があり、どちらも自然変動しているので誤差がある、という前提で手法を構築しています。
例えば、
収縮期血圧と拡張期血圧はお互いに関連性があり、しかも同時に変動するので、通常は相関分析を適用します。

詳しいことは、僕のウェブサイトの次のページを参考にしてください。
統計学入門
 http://www.snap-tck.com/room04/c01/stat/stat05/stat0501.html

統計技術 第Ⅲ部：第2章 多変量記述統計(2)

第2章-1（続き）Bivariate Descriptive Statistics （二変量統計記述）

前回（第2章-1） からの続き！

次に、
上記の前回の「Free Statistics Software (Calculator) 」（https://www.wessa.net）の「Bivariate Descriptive Statistics」のデータ入力画面で、

● 「Linear Regression Graphical Model Validation」を選択してみよう．

入力データは、下記の血圧値を用いてみる．

[最高血圧]→Data X
148,128,120,118,146,138,114,130,118,136 ,118,124,110,120,140,154,154,100,136,128,128,128,146,156,128
144,120,128,138,126,138,130,118,120,128,136,160,124, 98,104,130,136,114,150,138,118,142,120,128,130

[最低血圧]→Data Y
100, 68, 70, 68, 88, 86, 70, 73, 76, 86 ,60, 73, 64, 74, 80,100, 98, 70, 84, 78, 80, 68,100, 88, 73
80, 74, 72, 88, 68,88, 80, 80, 70, 74 ,75, 89, 73, 58, 60 ,80, 80, 78, 90, 74,76, 86, 64, 68, 73

図１　血圧データの入力画面

↓
「Compute」をクリック

出力結果（直線回帰モデル）

 

この結果から、回帰モデルは次のようになる．
　Y（最低血圧）＝0.6044*Ｘ（最高血圧）　－　0.924

Correlation：相関係数(r)とDetermination：決定係数（R^2）は図１の実行で次の結果を得た．
Correlation：相関係数(r)＝0.8237
Determination：決定係数（R^2）＝0.6785

 

　

 

統計技術 第Ⅲ部：第2章 多変量記述統計(1)

統計技術 第Ⅲ部：第2章 多変量記述統計

第2章　Bivariate Descriptive Statistics （二変量記述統計）
Wessa.net 事例集から、２つ以上の変量からなるデータの統計量記述に関する技術を紹介する．
多変量、すなわち２つ以上ののグループ化されていない独立した２つ以上の標本の生データの統計量であり、２つ以上の相関関係や代表値の有意差検定など多岐の分析となる．
なお、例題は、そのまま利用するので、実際の分析に当たってはサイトの使用方法に従って実行されたい．

● Free Statistics Software (Calculator) - Web-enabled scientific services & applications 
 https://www.wessa.net

第2章-1　Bivariate Descriptive Statistics （二変量統計記述）
二変量記述統計では、2つの標本の変数を分析・比較して、変数間に関係を要約する．

「Wessa.net」のTop ページから、
　Descritive Statistisc を選択
↓
下方にスクロースして、

図１　「Bivariate Descriptive Statistics」のデータ入力画面

↓
● Correrationを選択
↓
図１　データ入力画面

↓
「Compute」をクリック

図３　出力結果(1)

　

ここで、
.統計量とExcel 関数は次の通りである．
------------------------------------------------------------------------------
Mean：平均値.....=AVERAGE()
Biased Variance：母集団分散.....=VAR.P()
Biased Srandard Deviation：母集団標準誤差.....=STDEV.P()
Covariance：標本共分散.....=VAR.S()
Correlation：相関係数(r).....=CORREL()
Determination：決定係数(R^2).....=r^2
T-Test：相関係数のｔ検定....Excel の「データ分析→回帰分析」
p-value(2 sided)：相関係数のｔ検定の両側ｐ値....上記から
p-value(1 sided)：相関係数のｔ検定の片側ｐ値
95% CI of Correlation：母相関係数の95％ＣＩ...下記参照
Degree of Freedom：自由度....N-2=5-2=3
Number of Observations：データ数....N=5
-------------------------------------------------------------------------------

「95% CI of Correlation」計算の参照先ＵＲＬ：
情報統計研究所（やさしい医学統計手法）
↓
「6.3.　相関と回帰について」を参考にExcel で計算できる．

図３　出力結果(2)：Normality Test（正規性の検定）
　Bivariate-4.jpg
　
ここで、
・jarque-Bera Normality Test（ジャック-ベラ検定）

data： X
 JB=0.35208 (p=0.8386、片側検定)

data： Y
 JB=0.54552 (p=0.7613、片側検定)

正規分布に従うSkewness（歪度）かKurtosis（尖度 ）かを調べるもので、p値から正規分布と判断される．
なお、
小標本の場合には有意に傾きやすいので、ｐ値の補正が必要との説もある．

次回に続く！