ボールの問題 その３。よねの杞憂。

Dさん、解答ありがとう！

もともとはこうでした。

【「思考力」。

子供に次のような簡単な問題を出して解答させてみる。

「カゴに三種類の色のボールが、１７個入っている。
赤、黄、青の三色で、赤のボールは青より４個多く、
黄色のボールは、青よりも２個少ない。
では、それぞれの色のボールはいくつずつあるか答えてごらん？」

非常にシンプルな問題だけど、思考力を試せる。
鉛筆や紙を使わず、３０秒以内にこれぐらいの問題を
解けないのでは、話にならない。】

そして
【青を基準にして、4個多くて2個少ないんだから
17-4+2=15個
15個÷3=5個で青の数が出るらしいです（＾＾；）
＞近所の小学生によると】

これは素晴らしい答えです。
彼らは『X』の概念をもっているのですから。

ここで話が終われば、いいのです。

この問題が、「中学受験」の問題としたら、
方程式が使えないのでやっかいです。

Dさんから寄せられた解答案

（１）かごから赤のボールを4個取る。→赤が4個外。
（２）かごから赤と青のボールをそれぞれ2個ずつ取る。
　　→赤が4個+2個で6個外、青が2個外で、合計8個外。
（３）かごから赤、青、黄色のボールをそれぞれ一個ずつ取り出す。
　　→8個+3個で11個外。
（４）かごから赤、青、黄色のボールをそれぞれ一個ずつ取り出す。
　　→11個+3個で14個外。
（５）かごから赤、青、黄色のボールをそれぞれ一個ずつ取り出す。
　　→14個+3個で17個外。
（６）3種類のボールをそれぞれ1つずつ取り出して全部のボールを
　取り出すのに3回繰り返したから、一番少ない黄色のボールは3個。
（７）青は黄色より2個多いから3個+2個で5個
（８）赤は青より4個多いから5個+4個で9個

よねより、試験では高い点数がつくでしょう。

ここで注目して頂きたいのは、以下の２つの概念です。
1.『取りうる値の最大・最小』
2.『数列』

まず
（１）かごから赤のボールを4個取る。→赤が4個外。

問題文『赤のボールは青より４個多く』から赤の最小値が4。
『最大・最小』の概念です。

例えば、黄色のボールの最大値、最小値を考えます。

黄色いボールがあるから、最小値は1。

黄色いボールは一番すくない。
ボールは全部で17個。
１7割る3＝5（余り2）。
以上より黄色いボールの最大値が5であることが分かります。

次に
（３）かごから赤、青、黄色のボールをそれぞれ一個ずつ取り出す。
　　→8個+3個で11個外。

カゴのボールをそれぞれ1個づつ取り出すと、
外のボールが３個ずつ増える。

これは『数列』の概念です。

さて、よねの解答ですが、

黄色のボールは少なくとも１個以上は存在する。
黄色のボールが１個の場合、青色のボールは３個、
赤色のボールは７個で、全部で１１個となる。
黄色のボールが１個増えると、全体は３個増加する。
ボールの全体の個数は17個である。
17-11＝6。６割る3＝2。
以上の関係より、黄色のボールが１個の場合より、
２個増加した場合に全体が17個となる。
ゆえに、黄色のボールは３個。青色のボールは５個。
赤色のボールは９個。

これは『数列』も意識してますが、
高校数学の代表的概念を意識しています。

『あるnで条件Aが生じると、ｎ+1でムニャムニャ。
　ｎ＝1の時、ゴニョゴニョ。』（うまく表現できない、ゴメン）

数列、漸化式、数学的帰納法、行列などで使われる『概念』

この場合は「数列」の問題ですから、
黄色のボールの個数をnとすると、
ｎ+1個のとき、全体のボールの個数は３個増える。
ｎ＝1のとき、全体のボールは１１個。
では全体のボールは17個のとき、ｎの値は。

こう解釈したのです。

このような問題を解き続けて『概念』＝『数学の論理』が、
意識されるのかどうか、それが問題だと思います。

Dさんのところの小学生は「X」という『概念』を意識したので
素晴らしい。


【ここから、よねの杞憂がはじまります。】

この問題を手っ取り早く、教えるには
「黄色のボールが一番少ないよね。
　黄色のボールが１個のときは全部で何個になる。
　黄色のボールが２個のときは全部で何個になる。
こうやって数えてごらん。」

さらに、
「こういう問題は一番小さな数のボールに注目すれば
　解けるんだよ。」

このように「解法パターン」を覚えさせて、『概念＝論理』を
意識させない方向性になっていやしないか、と。

もし、この想像が正しければ、『悪夢の循環』が生じます。

「中学受験」にそなえ、学習塾はたくさんの解法パターンを
覚えさせます。
「中学」側は、さらにバラエティーに富んだ問題を作成します。
「塾」　 側は、さらにたくさんの解法パターンを覚えさせます。

そんなにたくさんの「解法パターン」を「詰め込まれた」小学生は
頭脳が破壊されてしまわないのでしょうか。

なんか『出口の何とか』でみたような・・・・

「よねの杞憂」であると信じたいです。