1. まえがき
漸化式
a[n+1]=√(a+a[n]) , a,a₁>0 ・・・・・①
の収束と極限を求める問題がある。一般には有界および単調性を使って述べられている。
この場合、a₁,a が指定されていないと、その値によって、単調減少か単調増加の可能性が
あり、少し面倒になる。このため、いずれの場合でも統一して議論できる方法を述べる。
2. 計算
まず、
a[n]>0・・・・・・・②
は自明となる。
この数列が収束して極限をもてば、a[n+1],a[n]→xとなる、xが存在する。するとそのxは
①から
x=√(a+x) → x²-x-a=0 ・・・・・③
→ x={1±√(1+4a)}/2
しかし、②から極限は負にならないため、正のものを取って
x={1+√(1+4a)}/2 (>1)・・・・④
となるxを定める。以下では、この(極限値らしい)xを使って、議論する。
|a[n+1]-x|=|√(a+a[n])-x|
=|(a+a[n])-x²|/|√(a+a[n])+x|・・・(分子分母に|√(a+a[n])+x|を掛ける)
=|a[n]-x|/|√(a+a[n])+x|・・・・・・(分子に③を使って)
<|a[n]-x|/|(√a)+1|・・・・・・(√(a+a[n])>√a と➃を使って)
となる。ここで k=1/|(√a)+1| とおくと、k<1 である。
上の漸化式は帰納的に
|a[n+1]-x|<kⁿ|a₁-x| → 0 (n→∞)
となる。したがって、a[n]→x となる。
3. 一般的な方法
③のxを使って、a₁<x の場合を説明する。この場合、
a₁<x={1+√(1+4a)}/2 → 2a₁-1<√(1+4a) → 0<a+a₁-a₁²
だから
a₂-a₁=√(a+a₁)-a₁=(a+a₁-a₁²)/{√(a+a₁)+a₁}>0
a[n+1]-a[n]=√(a+a[n])-√(a+a[n-1])
={(a+a[n])-(a+a[n-1])}/{√(a+a[n])+√(a+a[n-1])}
=(a[n]-a[n-1])/{√(a+a[n])+√(a+a[n-1])}
したがって、帰納的に a[n+1]-a[n]>0、つまり、a[n]は単調増加数列と分かる。
つぎに、
a[n+1]-x=√(a+a[n])-x=(a+a[n]-x²)/{√(a+a[n])+x}
=(a[n]-x)/{√(a+a[n])+x}・・・・・(③から)
n=1のとき、仮定から a₁<x なので、帰納的に、 a[n]<x となる。つまり、上に有界
となる。したがって、上に有界な単調増加列 a[n]は収束する。
a₁>xの場合も同様に議論できるが、①から下に有界は分かっている。
以上
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