断面形状が任意の無限ソレノイドの磁界

１．まえがき

　無限円筒形ソレノイドでは両端から磁界が漏れないので、ソレノイドの外部で磁界は０となるという
　言明がある。そうであれば、ソレノイドが無限であれば断面の形状には関係ないはずである。これを
　調べてみる。



２．計算

　断面形状が任意で、Z軸方向に伸びた柱状ソレノイドを考える。ソレノイド上の座標を(x,y,z)、
　求める磁界の座標を(b,0,0)とする。

　さらに、以後の議論で立体角を使うため、rの方向を前の議論と逆にとる。
　　　　ds=(dx, dy, 0)、r=(x-b, y, z)、ds×(-r)=(-zdy, zdx, -ydx+(x-b)dy)

　であり、電流素片は idzdsだから、ビオ・サバールの式により
　　　　H=(i/4π)∫[-∞,∞]dz∫(ds×(-r))/r³ =(i/4π)∫[-∞,∞]dz∫(r×ds))/r³

　前の議論と同様に、r×ds/r³ のX,Y成分はzの奇関数なので積分は０となるから
　　　　Hx=Hy=0
　　　　Hz=(i/4π)∫[-∞,∞]dz・∫(r×ds)/r³

　ここで、dzはZ方向のベクトルである。これはベクトル公式より
　　　　Hz=(i/4π)∫[-∞,∞]∫(r/r³)・(ds×dz)=(i/4π)∫(r/r³)・dS ・・・(a)

　ここで、(ds×dz)はソレノイド表面の微小面ベクトルdSなので面積分に変換した。

　この結果の積分の部分は、無限ソレノイド側面の立体角である。そこで、有限ソレノイドの一方
　の底面をS₁として、この底面の立体角を考える。このとき、z→∞では r～zだから

　　　　∫[S₁](-r/r³)・dS ～ |S₁|/z²→0　（|S₁|はS₁ の面積を表す）
　となる。他方の底面も同様である。したがって、無限ソレノイドの立体角は側面の計算だけでよ
　いことになる。そして、閉曲面の立体角は基準点が曲面内にあれば4π、外なら０である。

　これを、前の(a)に代入すると、次の予想された結果を得る。
　　　　Hz=i (ソレノイド内)、0（ソレノイド外）

以上