ある関数の積分に関する不等式

１．問題

　(1) 関数 g(t) (t∈R)を
　　　　g(t)=∫₀¹ |x-t|ⁿ dx
　　と定義する。このとき、g(t)の最小値とその時の tを求めよ。

　(2) f(x) (x∈[0,1]) を連続関数とする。このとき
　　　　∫₀¹ x^k f(x) dx=0 (k=0,1,・・・,n-1)・・・・・①
　　を満たすとき、
　　　　∫₀¹ (x-t)ⁿ f(x)dx=∫₀¹ xⁿ f(x)dx・・・・・・②
　　が成立することを示せ。

　(3) ①の条件のもと、f(x) (x∈[0,1]) の最大値をMとすれば
　　　　|∫₀¹ xⁿ f(x)dx| ≦ M/{ (n+1)2ⁿ }
　　が成立する。　　

２．証明

　(1)
　　(a) x∈[0,1], t<0 とすると、
　　　　0≦xn<|x-t|ⁿ 
　　　なので、g(t)≧g(0) (t<0) となる。

　　(b) t>1 → t-x>1-x、ここで、0≦x≦1 なので t-x>0, 1-x≧0 だから
　　　　→ |t-x|>|1-x| → |x-t|>|x-1| → |x-t|ⁿ>|x-1|ⁿ
　　　積分して
　　　　∫₀¹ |x-t|ⁿdx >∫₀¹ |x-1|ⁿdx → g(t)>g(1) (t>1)

　　(c) 上の(a)(b)から、g(t)の最小値は 0≦t≦1の間にある。0≦t≦1 とする。
　　　　g(t)=∫₀¹ |x-t|ⁿdx=∫₀^t |x-t|ⁿdx +∫_t¹ |x-t|ⁿdx
　　　　　  =∫₀^t (t-x)ⁿdx +∫_t¹ (x-t)ⁿdx  
   　　　　(0≦x≦t → |x-t|=t-x , t≦x≦1 → |x-t|=x-t なので)

　　　　　  =(1/(n+1)){ [-(t-x)ⁿ⁺¹]^t₀  + [(x-t)ⁿ⁺¹]¹_t 
　　　　　  =(1/(n+1)){ tⁿ⁺¹ + (1-t)ⁿ⁺¹ }

　　　　　g'(t)=tⁿ - (1-t)ⁿ=0 → t=1-t → t=1/2
　　　　　g''(t)=n{t^n-1 + (1-t)^n-1}≧0
　　　したがって、g(t) は t=1/2で最小となり
　　　　　g(1/2)=(1/(n+1)){ (1/2)ⁿ⁺¹ + (1/2)ⁿ⁺¹ }=1/{(n+1)2ⁿ}　・・・・・・③
　　　となる。

　(2)
　　①が成り立つから (x-t)ⁿ を展開すれば②のせいりつは自明。

　(3)
　　　　A=|∫₀¹ xⁿ f(x)dx|=|∫₀¹ (x-t)ⁿ f(x)dx|
　　　　　≦∫₀¹ |x-t|ⁿ |f(x)|dx ≦ M∫₀¹ |x-t|ⁿ dx = Mg(t)

　　上の不等式は 任意のtについて成り立つから、①によりg(t)の最小、g(1/2)を取れ
　　ばよい。つまり
　　　　A≦Mg(1/2)=M/{(n+1)2ⁿ}
　　となる。

以上