微分演算子法の解 e^(ax)/f(D)=xⁿe^(ax)/f⁽ⁿ⁾(a) , f(a)=f'(a)=･･･=f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)=0 , f⁽ⁿ⁾(a)≠0

微分演算子法の解
　　　e^ax/f(D)=xⁿe^ax/f⁽ⁿ⁾(a) ,  f(a)=f'(a)=･･･=f^(n-1)(a)=0 ,  f⁽ⁿ⁾(a)≠0
を求める問題があった。

この問題は公式
　　　(1/f(D))e^ax=e^ax/f(a)   ( f(a)≠0 )
の拡張になっている。これを示すには公式
　　　( 1/{ (D-a)^ag(D) } )e^ax=xⁿe^ax/(n!g(a))   ( g(a)≠0 )・・・・・・①
を使用する。

f(x)をテーラー展開すると
　　　f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+･･･+{(x-a)^n-1/(n-1)!}f^(n-1)(a)+{(x-a)ⁿ/n!}f⁽ⁿ⁾(x+θ(x-a))   (0<θ<1)
　　　　  ={(x-a)ⁿ/n!}f⁽ⁿ⁾(x+θ(x-a))
となる。ここで、g(x)=f⁽ⁿ⁾(x+θ(x-a))/n! とおくと f(x)=(x-a)ⁿg(x) となる。すると
　　　g(a)=f⁽ⁿ⁾(a)/n! (≠0)・・・・・・②
となるから、①に入れて②を使うと
　　　(1/f(D))e^ax=( 1/{ (D-a)^ag(D) } )e^ax=xⁿe^ax/(n!g(a))=xⁿe^ax/(n!f⁽ⁿ⁾(a)/n!)
　　　　　　　  =xⁿe^ax/f⁽ⁿ⁾(a)   ( f⁽ⁿ⁾(a)≠0 )
となり、命題が証明された。

しかし、この関係は、実際にはあまり意味がないかもしれない。というのは f⁽ⁿ⁾(x) を求
めるのは一般に面倒であり、 f(x)=(x-a)ⁿg(x) となることがわかっているから、g(x) がわ
かれば①によりすぐ計算できる。

以上