１．まえがき
下記のような数列の問題があった。
数列 {An} を
An=[√n] （[ ] はガウスの記号）
つまり、
1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,･･･
とし、数列 {Bn} を
1, 2,2, 3,3,3, 4,4,4,4, ･･･, m,m,･･･,m (m個並べる), ･･･
とする。
このとき、Bn-An=6 となるもののうち、最小の nを求めよ。
２．計算
これらの数列の値を nで指定するのは困難なので、逆に数列の値が mとなる nを求める。
すると
An=m → n=m² ～ (m+1)²-1 ・・・・・・・①
である。Bnについては Bn=mとなる最後の nは
1+2+3+･･･+m=m(m+1)/2
となる。また、Bn=m-1 となる最後の nは、m(m-1)/2 だから、その次の項が Bn=m なので
Bn=m → n=m(m-1)/2+1 ～ m(m+1)/2 ・・・・②
となる。
したがって、An=m のとき、Bn=m+6 となる n を求めればよい。つまり、②で m → m+6
とした
n=(m+6)(m+5)/2+1 ～ (m+6)(m+7)/2 (Bn=m+6) ・・・・③
の nと②の nが同じになればよい。したがって
m², (m+1)²-1 と (m+6)(m+5)/2+1, (m+6)(m+7)/2 ・・・・④
の交点のうち、mが最小のものを選べばよい（nは mに比例するから）。すべての交点を
計算すればよいが、面倒のためグラフから、2、３番との交点を求めればよい。すると
(m+1)²-1=(m+6)(m+5)/2+1 → 2m²+4m=m²+11m+32
→ m²-7m-32=0 → m=(7+√(49+4・32))/2≒10.1 (負は除く)
となる。
mは正の整数だから最小のものは m=11 となり
An=m=11 で ①から n=121～143
Bn=m+6=11+6=17 で ③で m=11 として n=137～153
となる。したがって、この An, Bn の nで重なるものは
n=137～143
であり、最小は
n=137
となる。
３．検討
Bn-An=6 となるものは mによっていくつもある。上では最小を求めたが、最大の nは
④の１、４番の交点を求めればよい。
m²=(m+6)(m+7)/2 → m²-13m-42=0 → m=(13+√(13²+4・42))/2≒15.6
となる。
mは正の整数だから最大のものは m=16 となり
An=m=16 で ①から n=256～288
Bn=m+6=16+6=22 で ③で m=16 として n=232～253
となる。この An, Bn の nで重なるものは無い。
そこで、m=15 とすると
An=m=15 で ①から n=225～255
Bn=m+6=15+6=21 で ③で m=15 として n=211～231
となる。したがって、この An, Bn の nで重なるものは
n=225～231
であり、その最大は
n=231
となる。
このとき、最小の場合は mを切り上げ、最大の場合は切り捨てとしたのは、mの範囲が
図のひし形な内部となるから。
以上
