一様な電磁界中の点電荷の運動

1.　まえがき

　一様な電磁界中の点電荷の運動についてまとめておく。まず、簡単な設定として、
　B=<0,0,B> , E=<0,E,0>の一様な電磁界中における、質量m、電荷qの点電荷の運動を
　考える。初期条件は
　　　t=0 の座標<0,0,0>で、初速度 <0,v₀,0>をもつとする。・・・・・①



2.　計算

　運動方程式は「'」を時間微分として
　　　mx''=qv_yB , my''=q(E-v_xB) , mz''=0
　　　x''=wy' , y''=a-wx' , z''=0、a=qE/m , w=qB/m・・・・②
　となる。②を積分して
　　　x'=wy+A , y'=at-wx+C , z'=D
　となる。初期条件①から（z(0)=z'(0)=0 なので）
　　　x'=wy , y'=at-wx+v₀ , z=0　・・・・・・・・・・・③
　となる。

　つぎに、③を②に代入して
　　　x''=-w²x+awt+wv₀ , y''=a-w²y
　となる。ここで
　　　X=x-(a/w)t-v₀/w, Y=y-a/w²　・・・・④
　とおくと、
　　　X''=-w²X , Y''=-w²Y
　となり、この解は
　　　X=Acoswt+Bsinwt , Y=Ccoswt+Dsinwt
　となる。初期条件①から、X(0)=-v₀/w , X'(0)=-a/w , Y(0)=-a/w² ,Y'(0)=v₀ なので
　A=-v₀/w , B=-a/w², C=-a/w², D=v₀/w となlり
　　　X=-(v₀/w)coswt-(a/w²)sinwt , Y=-(a/w²)coswt+(v₀/w)sinwt・・・・⑤
　を得る。これは
　　　X²+Y²=(v₀/w)²+(a/w²)²
　なので、④のx軸に等速運動する座標系で観ると電荷は、半径 √{(v₀/w)²+(a/w²)²} の
　円運動する。⑤を微分して
　　　X'²+Y'²=v₀²+(a/w)²
　となるので、等速円運動と分かる。

　座標系を戻すと④⑤から
　　　x=(a/w)t+v₀/w-(v₀/w)coswt-(a/w²)sinwt=(a/w)t+(v₀/w)(1-coswt)-(a/w²)sinwt
　　　y=(a/w²)(1-coswt)+(v₀/w)sinwt
　　　z=0
　を得る。この式は、θ=wt と置くと
　　　x=(a/w²)(θ-sinθ)+(v₀/w)(1-cosθ)
　　　y=(a/w²)(1-cosθ)+(v₀/w)sinθ　

　この式は、v₀=0 のとき、サイクロイドを現し、a=0(E=0)のとき、円運動を表す。
　一般には図のような軌跡となる。



以上