f(x) が単調増加関数の時、∫[a→b] xf(x)dx ≧ {(a+b)/2}∫[a→b] f(x)dx を証明する。

Rの区間[a,b]で f(x) が単調増加関数の時、
　　　∫[a→b] xf(x)dx ≧ {(a+b)/2}∫[a→b] f(x)dx
を証明する。

c=(a+b)/2 と置く。
　　　∫[a→b] (x-c)f(x)dx = ∫[a→c] (x-c)f(x)dx+∫[c→b] (x-c)f(x)dx・・・・①
x∈[a,c]で、(x-c)≦0 , f(x)≦f(c)だから (x-c)f(x)≧(x-c)f(c)
x∈[c,b]で、(x-c)≧0 , f(x)≧f(c)だから (x-c)f(x)≧(x-c)f(c)

したがって、①は
　　　∫[a→b] (x-c)f(x)dx ≧ ∫[a→c] (x-c)f(c)dx+∫[c→b] (x-c)f(c)dx
　　　　　=f(c)∫[a→b] (x-c)dx=f(c) [x²/2-cx] [x=b,a]=f(c) {(b²-a²)/2-c(b-a)}
　　　　　=f(c) (b-a) {(b+a)/2-c}=0

ゆえに
　　　∫[a→b] (x-c)f(x)dx≧0 → ∫[a→b] xf(x)dx≧c∫[a→b] f(x)dx
となり、命題が証明された。


なお、上の論理から、a≦c≦(a+b)/2 ならば
　　　∫[a→b] xf(x)dx ≧ c∫[a→b] f(x)dx
が成り立つ。

以上