f(a)≠f(b)となるとき、ロールの定理の拡張

あるサイトにロールの定理の拡張が載っていたので紹介する。

命題　有界区間[a,b] (a＜b)で連続かつ区間(a,b)で微分可能な実数値関数ｆ
について次の条件成立するとき、f'(c)=0となる　c∈(a,b)が存在する。

　(1) f(a)=f(b) のとき
　　これはロールの定理であり、追加の条件は必要ない。
　(2) f(a)＜f(b) のとき
　　aでfが極大値とるか、bでfが極小値を取るとき。
　(3) f(a)＞f(b) のとき
　　aでfが極小値とるか、bでfが極大値を取るとき。



証明　１．f(a)=f(b)のとき
ロールの定理より、命題は明らか。

２．f(a)＜f(b)のとき

fはaで極大とすると、a＜a'＜b となるa' が存在して、f(a)≧f(a')。
すると、f(a)∈[f(a'),f(b)]だから、中間値の定理より、x∈[a',b]のxが

存在して、f(x)=f(a)となる。当然、a＜a'≦x だから、a≠x である。
すると、ロールの定理より、c∈(a,x) が存在して、f'(c)=0。
あきらかに、a＜c＜x≦b。

３．f(a)＞f(b)のとき

fがbで極大とすると、a＜b'＜b となる b' が存在して、f(b)≧f(b')。
すると、f(b)∈[f(b'),f(a)]だから、中間値の定理より、x∈[a,b']のxが

存在して、f(x)=f(b)となる。当然、x≦b'＜b だから、b≠x である。
すると、ロールの定理より、c∈(x,b) が存在して、f'(c)=0。
あきらかに、a≦x＜c＜b。

４．補足

上の証明で f → -fを考察すれば命題の残りは自明となる。

以上