関数表記の欠点

1.　まえがき

　関数表記 f(x) には、不明確さに起因する不具合が発生する。この要因は f(x)が関数を
　指すか値を指すかの区別ができないことにある。その例を示す。

2.　微分の不具合

　関数 f(x,y) としたとき、f(x²y, x+2y) の偏微分を
　　　　(∂/∂x)f(x²y, x+2y)=fx(x²y, x+2y)2xy , (∂/∂y)f(x²y, x+2y)=fy(x²y, x+2y)2
　と書いたりする。しかし、正確には
　　　　u=x²y ,  v=x+2y
　と変数変換したとして、連鎖律から
　　　　(∂/∂x)f(x²y, x+2y)=fu(u, v)2xy={ fu(u, v)(u=x²y, v=x+2y) }2xy
　　　　(∂/∂y)f(x²y, x+2y)=fv(u, v)2={ fv(u, v)(u=x²y, v=x+2y) }2
　のことである。

　昔、関数表記として
　　　　f(▢₁, ▢₂)
　という表現を見たことがある。これを使えば
　　　　(∂/∂x)f(x²y, x+2y)=f₁(▢₁, ▢₂)(▢₁=x²y, ▢₂=x+2y)2xy
　　　　(∂/∂y)f(x²y, x+2y)=f₂(▢₁, ▢₂)(▢₁=x²y, ▢₂=x+2y)2
　として、u,vを使わなくても良い。

　ただ、こんなことをしていたら、面倒なだけでなので、結局、注意しながら、使う
　しかない。

3.　あとがき

　ミクシンスキーの演算子法ではこのような不明確さのため関数を {f(x)}で表し、値と
　区別していた。

以上