Ａ～Ｄ4人 ３種類の洋菓子

　閉店後の洋菓子店で,売れ残った3種類の商品(シュークリーム,タルト,チーズケーキの各一つ)を店員Ａ～Ｄの４人が分けて持ち帰ることとなった。
　Ａ～Ｄは、れぞれ商品を一つだけ選んで希望を出し,その希望が他の誰とも重ならなかった場合に、その商品を持ち帰ることができる。
　そこで.４人は,自分以外の3人の希望について次のように予測し,自分の希望がかなう可能性のある商品を選ぶこととした。
・Ａは,「他の3人はみなシュークリームを選ぶ」と予測した。
・Ｂは,「Ｃはチーズケーキを選ぶ」と予測した。
・Ｃは,「Ｄはタルトを選ぶ」と予測した。
・Ｄは,「ＡかＢのうち１人のみがチーズケーキを選ぶ」と予測した。
　４人が同時に希望を出したところ,上記四つの予測はどれも外れていた。このとき,Ａ～Ｄ
が行った選択について,確実にいえるのはどれか。

1 チーズケーキを選んだのは１人だった。
2 タルトを選んだのは２人だった。
3 Ａが選んだ商品は確定できない。
4 ＢとＣは同じ商品を選んだ。
5 ＣとＤは異なる商品を選んだ。


















ヒント　
　　　対応表
























　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正答　２

立方体 切断 展開図 解説

【解説】
平行面の平面による切断は平行線になるので、切断面は下図のような４辺の長さが等しい平行四辺形、つまりひし形になる。








選択肢の中で、４辺の長さが等しいのは４のみ。












　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正答　４

立方体 切断 展開図

　次図のような正六面体ABCD－EFGHについて、辺ABの中点をPとし3点D，F，Pを通る平面でこの正六面体を切断するとき、切断面を示した展開図として正しいものは次のうちどれか。

整数 合同式 mod 解説

【解説】
ｍod 15で考える。


ＡＡ×ＢＢ＝Ａ×11×Ｂ×11
　　　　　＝Ａ×Ｂ×121
　　　　　＝Ａ×Ｂ×(15×８＋１)
　　　　　≡Ａ×Ｂ　(mod 15)

題意より　A×B≡１　(mod 15)　　　…　①

A×Bは１から９までの異なる整数だから、
　　1×２≦A×B≦８×９

このことと①より、
　　　A×B＝１、16、31、46、61　


これらの数のうちで、１から９の異なる整数の積に分解できるのは
　　　２×８　
しかない。




よって、
AとBの和は　２＋８＝10


　　　　　　　　　　　　　　　正答　５

整数 合同式 mod

　11と22のように十の位と一の位の数字が同じである２つの異なる整数ＡＡとＢＢがある。
このＡＡとＢＢの積を15で割ると余りが１となった。このとき，ＡとＢの和として正しいものは，次のうちどれか。
１　７
２　８
３　９
４　10
５　11

整数 割った余り 倍数約数

　４つの異なる自然数があり，その和は70である。そのうちの最小の数で他の３つの数を割ると，それぞれ余りが４，５，６となる。また，最大の数は奇数である。このとき，２番目に大きい数として正しいものは，次のうちどれか。
１　15
２　16
３　17
４　18
５　19

























最小の数をｋとすると、ｋは６より大きく

70－(４＋５＋６)＝55の約数






　　　　　　　　　　　　　　　　正答　３

帽子の問題 ABC3人赤３白２ 同時に尋ねる 解説

A,B,C 3人の帽子の色は、
(１) 赤3
(２) 赤2白1
(３ )赤1白2
　のいずれか。


　赤い帽子が３つ，白い帽子が２つであることは、A、B、Cとも承知しているので、
　(1)赤3 の場合
　自分以外の2人が「赤赤」なので、自分が「赤」も「白」も可能性があるので、3人とも「わからない」と答える。　

　(２)赤2白1 の場合
　自分以外の2人は「赤赤」かまたは「赤白」なので3人とも「わからない」答える。

　(３)赤1白2 の場合
　赤の帽子をかぶっている者は自分以外の2人が「白白」なので「わかった」(自分は「赤」)と答え
る。

したがって、最初に3人とも「わからない」と答えたので、(１)か(２)であることがわかる。
　A、B、Cが見た自分以外の帽子は「赤赤」か「赤白」のいずれかである。



　この状況の下で、次にＡとＣの２人が同時に自分の帽子の色が「わかった」と答えた。

　それは、AもCも自分以外の2人の帽子の色が「赤白」であったからである。
　もし、「赤赤」であれば自分は「赤」かもしれないし、「白」かもしれない。自分以外が「赤白」であったから「白」ではありえない((３)になってしまう)のだから、自分は「赤」だとわかる。

　この時点でAもCも「赤」であり、3人の中に「白」がいることになる。
「白」は残ったBということになりBは「わかった」と発言する。


　　Ａ 　Ｂ　 Ｃ
３　赤　白　赤


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正答　３

帽子の問題 ABC3人赤３白２ 同時に尋ねる

　赤い帽子が３つ，白い帽子が２つある。この５つの帽子の中から，本人には帽子の色がわからないようにＡ，Ｂ，Ｃの３人に１つずつ帽子をかぶせた。
　Ａ，Ｂ，Ｃの３人は帽子の色と個数の内訳は知っており、また自分以外の２人の帽子は見えている。
　まず，Ａ、Ｂ、Ｃの３人に自分の帽子の色がわかるかどうか尋ねたところ，３人とも「わからない」と答えた。
　他の２人も「わからない」と答えたのを聞いた３人に対し改めて自分の帽子の色がわかるかどうか尋ねると，ＡとＣの２人が同時に自分の帽子の色が「わかった」と答え，ＡとＣが「わかった」と答えたのを聞いたＢも，「それなら，私もわかった」と答えた。
　このとき，３人にかぶせられた帽子の色の組合せとして正しいのは，次のうちどれか。
　　Ａ 　Ｂ　 Ｃ
１　赤　赤　赤
２　赤　赤　白
３　赤　白　赤
４　白　赤　赤
５　白　赤　白