６進法でで5432と表される数を４進法に直したものはどれか。
１ lO3130
２ 102132
３ 103110
４ 103132
５ 103230
６進法でで5432と表される数を４進法に直したものはどれか。
１ lO3130
２ 102132
３ 103110
４ 103132
５ 103230
６進法でで5432と表される数を４進法に直したものはどれか。
１ lO3130
２ 102132
３ 103110
４ 103132
５ 103230
【No.１４】 うそつき問題 場合分け法 半分嘘半分本当 正答 ３>
ある事件の容疑者Ａ～Ｅの５人が、次のような二つの発言をした。５人の発言は、いずれも一つが真実で、もう一つがうそであるとき、犯人はだれか。ただし、犯人は５人のうちの１人である。
Ａ「私は犯人ではない。」「誰が犯人かは知らない。」
Ｂ「私は犯人ではない。」「Ａが犯人である。」
Ｃ「私は犯人ではない。」「Ｂは犯人ではない。」
Ｄ「私は犯人ではない。」「Ｃは犯人ではない。」
Ｅ「私は犯人ではない。」「Ｄが犯人である。」
１ Ａ
２ Ｂ
３ Ｃ
４ Ｄ
５ Ｅ
ある事件の容疑者Ａ～Ｅの５人が、次のような二つの発言をした。５人の発言は、いずれも一つが真実で、もう一つがうそであるとき、犯人はだれか。ただし、犯人は５人のうちの１人である。
Ａ「私は犯人ではない。」「誰が犯人かは知らない。」
Ｂ「私は犯人ではない。」「Ａが犯人である。」
Ｃ「私は犯人ではない。」「Ｂは犯人ではない。」
Ｄ「私は犯人ではない。」「Ｃは犯人ではない。」
Ｅ「私は犯人ではない。」「Ｄが犯人である。」
１ Ａ
２ Ｂ
３ Ｃ
４ Ｄ
５ Ｅ
素数ｐは、
ｐ＝ｍ^3－ｎ^3＝(ｍ－ｎ)(ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2)
と分解できるが、ｍ、ｎは自然数なので、
ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2は３以上の整数。
素数は１と自分以外の約数を持たないので、
ｍ－ｎ＝１
となる。
これより、ｎ＝ｍ－１
上の式に代入すると、
ｐ＝3ｍ^2－3ｍ＋1
正答 ４
ｐ＝ｍ^3－ｎ^3＝(ｍ－ｎ)(ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2)
と分解できるが、ｍ、ｎは自然数なので、
ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2は３以上の整数。
素数は１と自分以外の約数を持たないので、
ｍ－ｎ＝１
となる。
これより、ｎ＝ｍ－１
上の式に代入すると、
ｐ＝3ｍ^2－3ｍ＋1
正答 ４
ある素数ｐは,自然数ｍ、ｎを用いてｐ＝ｍ^3－ｎ^3と表すことができる。このとき,ｐはｍ のみを用いて表すこともできるが,その式は次のうちどれか。(地方上級(全国型、関東型,中部・北陸型))
１ ｍ^2－3ｍ＋１
２ ｍ^2－3ｍ－１
３ 3ｍ^2＋3ｍ＋１
４ 3ｍ^2－3ｍ＋1
５ 3ｍ^2－3ｍ－1
Ａ～Ｃの３人は正直者かうそつきのいずれかであり，正直者は必ず正しいことを言い，うそつきは必ずうそを言う。
まず，Ａが自分は正直者であるかうそつきであるかについて発言し，その後，Ｂ，Ｃの順で次のように発言した。
Ｂ「Ａは自分が正直者であると述べた」
Ｃ「Ｂが述べたことは正しい」
３人の中に少なくとも1人はうそつきがいることがわかっているとき，正直者をすべて挙げたものは，次のうちどれか。
１ Ａ
２ Ｂ
３ Ｃ
４ Ａ，Ｃ
５ Ｂ，Ｃ
【解説】
横２㎝縦３㎝のタイルは、横に３枚、縦に２枚並べると、6枚で縦横とも６㎝の正方形を作ることができる。
この正方形を単位にして大きな正方形を作ってみる。
横２㎝縦３㎝のタイルの枚数
縦横６㎝の正方形 ６枚
縦横12㎝の正方形 24枚
縦横18㎝の正方形 54枚
縦横24㎝の正方形 96枚
タイルは全部で65枚あるので、縦横６㎝の正方形を縦横３つずつ９個使えばもっとも大きな正方形ができる。
（縦横４つずつ16個使うと、横２㎝縦３㎝のタイルは96枚使うことになる）
正答 ２
横２㎝縦３㎝のタイルは、横に３枚、縦に２枚並べると、6枚で縦横とも６㎝の正方形を作ることができる。
この正方形を単位にして大きな正方形を作ってみる。
横２㎝縦３㎝のタイルの枚数
縦横６㎝の正方形 ６枚
縦横12㎝の正方形 24枚
縦横18㎝の正方形 54枚
縦横24㎝の正方形 96枚
タイルは全部で65枚あるので、縦横６㎝の正方形を縦横３つずつ９個使えばもっとも大きな正方形ができる。
（縦横４つずつ16個使うと、横２㎝縦３㎝のタイルは96枚使うことになる）
正答 ２
横２ｃｍ×縦３ｃｍの長方形のタイルが65枚ある。このタイルを敷きつめて最も大きい正方形を作りたい。このとき使用するタイルの枚数を求めよ。
１ 52枚
２ 54枚
３ 56枚
４ 60枚
５ 62枚
図は，直角二等辺三角形10枚を組み合わせて作った図形である。この図形を，三角形の頂点を結ぶ直線分で切断して並べ替え，正方形を作りたい。切断する直線分を正しく示した図はどれか。
Ａ～Ｅ５人の身長を測ったところ，次のことがわかった。
このとき，確実にいえるものは次のうちどれか。
・ＡはＥより低く，ＢはＤより低い。
・ＡとＢの差は２ｃｍ，ＢとＣの差は３ｃｍ，ＣとＤの差は３ｃｍ，ＤとＥの差は２ｃｍである。
・身長が同じ者はいない。
１ ＡはＢより低い。
２ ＢはＣより高い。
３ ＣはＥより低い。
４ ＤはＣより低い。
５ ＥはＤより高い。
（１）Ｐ：ｘ＝１ → Ｑ：x＾2＝１ 正しい
Ｑ：x＾2＝1 → Ｐ：ｘ＝１ 正しくない 反例 ｘ＝－1
（２）Ｐ：ｘ＝－１ → Ｑ：ｘ＾3＝－１ 正しい
Ｑ：ｘ＾3＝－１ → Ｐ：ｘ＝－１ 正しい
（３）Ｐ：ｘ≠１ → Ｑ：ｘ＾2≠１ 正しくない 反例 ｘ＝－１
Ｑ：ｘ＾2≠１ → Ｐ：ｘ≠１ 正しい
正答 ２
Ｑ：x＾2＝1 → Ｐ：ｘ＝１ 正しくない 反例 ｘ＝－1
（２）Ｐ：ｘ＝－１ → Ｑ：ｘ＾3＝－１ 正しい
Ｑ：ｘ＾3＝－１ → Ｐ：ｘ＝－１ 正しい
（３）Ｐ：ｘ≠１ → Ｑ：ｘ＾2≠１ 正しくない 反例 ｘ＝－１
Ｑ：ｘ＾2≠１ → Ｐ：ｘ≠１ 正しい
正答 ２
ｘが実数であるとき，条件Ｐ，Ｑの組合せ(1)～(3)は下記のア～ウのどれに該当するか。
（１）Ｐ：ｘ＝１，Ｑ：x＾2＝1
（２）Ｐ：ｘ＝－１，Ｑ：ｘ＾3＝－１
（３）Ｐ：ｘ≠１，Ｑ：ｘ＾2≠1
ア ＰならばＱは成り立つが，ＱならばＰは成り立たない。
イ ＱならばＰは成り立つが，ＰならばＱは成り立たない。
ウ ＰならばＱ，ＱならばＰがともに成り立つ。
（１) （２） （３）
１ ア イ ウ
２ ア ウ イ
３ イ ア ウ
４ イ ウ ア
５ ウ ア イ
【解説】
Ａ Ｂ
10 10
↓
15 ５
Ａから見ると、
１回目は、-1,-3,-5,+2,+4,+6 のいずれか、
２回目は、-2,-4,-6,+1,+3,+5のいずれか。
２回合わせて＋５になるのは、
＋２＋３ か ＋４＋１
すなわち、１回目Ａは２を出し、２回目Ｂは３を出したか
１回目Ａは４を出し、２回目Ｂは１を出した
のいずれかである。
正答 ５
Ａ Ｂ
10 10
↓
15 ５
Ａから見ると、
１回目は、-1,-3,-5,+2,+4,+6 のいずれか、
２回目は、-2,-4,-6,+1,+3,+5のいずれか。
２回合わせて＋５になるのは、
＋２＋３ か ＋４＋１
すなわち、１回目Ａは２を出し、２回目Ｂは３を出したか
１回目Ａは４を出し、２回目Ｂは１を出した
のいずれかである。
正答 ５
ＡとＢが２人でゲームをした。最初にＡ，Ｂともに１０枚ずつコインをもち，順に１回ずつサイコロをふる。そして，出た目の数が偶数のときは出た目の数だけ相手からコインをもらい，奇数のときは出た目の数だけ相手にコインを渡すことにした。最初にＡがサイコロを１回ふり，次にＢがサイコロを１回ふった。すると，Ａの枚数が15枚，Ｂの枚数が５枚になった。このことから，確実にいえるものはどれか。
１．Ａ，Ｂともに出したサイコロの目の数は奇数だった。
２．Ａ，Ｂともに出したサイコロの目の数は偶数だった。
３．Ａが出したサイコロの目の数は１か６だった。
４．Ａが出したサイコロの目の数は２か３だった。
５．Ｂが出したサイコロの目の数は１か３だった。