7進法、9進法、5進法

　７進法で表すとａｂとなり、９進法で表すとｂａとなる数がある。この数を５進法で表すと１の位はいくらか。ただし、ａ、ｂとも自然数とする。
１　０
２　１　
３　２
４　３
５　４













【解説】
　７進法の表記でａやｂが使われ、ａ、ｂは最高位にあるので０ではない。
　従って、　　０＜ａ＜７、０＜ｂ＜７　　…… ①

　７進法のａｂと、９進法のｂａが等しいから、
　　　　７ａ＋ｂ＝９ｂ＋ａ
　　　　　　６ａ＝８ｂ
　　　　∴　３ａ＝４ｂ　　……　②

　①の範囲の自然数で考えると、０＜３ａ＜21　より、 ０＜４ｂ＜21。

　　　　∴　０＜ｂ＜21/4＝5.25

　ｂは３の倍数なので、ｂ＝３。②より、ａ＝４。

　７進法でａｂ、すなわち、４３と表わされる数は、十進法で、７×４＋３＝31

　十進法の31を５進法に直すと111となり、１の位の数字は１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正答　２

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２９の6乗日後は何曜日

　2001年の元旦は月曜日になるが、この元旦から29＾6日後は何曜日になるか。
１　日曜日
２　月曜日
３　火曜日
４　水曜日
５　木曜日 　　　　　　　　　　　　　　　
(29^6は29の６乗を表す)













【解説】
　１週間は７日なので、７の倍数日後の曜日は元の日と同じ曜日になる。
　　　　29≡１　(mod　７)
であるから、
　　　　29＾６≡１＾６≡１　(mod　７)
従って、月曜日の次の火曜日。　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　正答　３

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男4人女2人 女が隣り合わない並び方

　男子４人、女子２人のあわせて６人が１列に並ぶ。女子が隣り合わないような並び方は何通りあるか。
　１　80通り　　
　２　120通り　　
　３　240通り　　
　４　360通り　　
　５　720通り












【解説】
　まず、男子４人が並び、その両端とすき間合わせて５か所のうちの２か所を選んで、女子がはいる。
　　男子４人の並び方……４！＝4・3・2・1＝24通り
　　女子２人の入り方……５Ｃ２＝10通り
　　求めるものは　24×10＝240 (通り)
　　　　●　●　●　●　
　　　∧　∧　∧　∧　∧
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正答　３

円盤の塗り分け

　円盤に図のような区画を描き、これを絵の具で塗り分ける。ただし、線で接している区画が同じ色にならないようにする。図Ⅰの場合、４色必要である。では、図Ⅱの場合、最低何色あれば足りるか。

１　３色
２　４色
３　５色 　　
４　６色
５　７色

　










【解説】
一般に、４色あればどんなものでも塗り分けることが知られているので、５色以上はありえない。

　そこで、３色で塗れるかどうかを試す。

　色を数字の1、2、3、…で表すとすると、右下の図のように３色で塗れることがわかる。
　　　 　　　 　　　　　

　なお、１点に、互いに隣り合う３つの領域が集まるところがあるので、２色で塗ることは不可能。


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 正答　１

ファーストフード ハンバーガー 紅茶

ファーストフードのＭ店では、食べ物はハンバーガーとホットドッグ、飲み物はコーヒーと紅茶のそれぞれ２種類を販売している。ある日の昼時の利用状況は、次のＡ～Ｆのとおりであった。
Ａ　ハンバーガーを注文した人は161人だった。
Ｂ　ホットドッグを注文した人は81人だった。
Ｃ　コーヒーを注文した人は138人だった。
Ｄ　紅茶を注文した人は83人だった。
Ｅ　食べ物を注文した人は必ず飲み物を１種類だけ注文した。
Ｆ　飲み物だけを注文した人はいなかった。
以上から判断してハンバーガーとホットドックの両方を注文したのは何人か。
１　18人
２　19人
３　20人
４　21人
５　22人












【ヒント】
　ｎ(Ａ∪Ｂ)＝ｎ(Ａ)＋ｎ(Ｂ)－ｎ(Ａ∩Ｂ)






【解説】
　図の書き方を下のように工夫する。



　客の総数は、138＋83＝221(人)。上の公式を用いて、
　　ｎ(ハ∩ホ)＝ｎ(ハ)＋ｎ(ホ)－ｎ(ハ∪ホ)
　　　　　　　＝161＋81－221＝21　

　　　　　　　　　　　　　　　正答　４

25枚の正方形 市松模様

　図Ⅰのように白黒の正方形の紙片を、四隅が黒となるように市松模様に並べて大きな25枚の正方形にする。
　図ⅡのＡ～Ｇのような正方形をつなげた紙片で図Ⅰを埋めつくすとき、必要のない紙片のみを挙げているものはどれか。
　ただし、Ａ～Ｇは裏返して使用することはないものとする。なお、アの紙片がすでに１枚置かれている。


　１　Ａ、Ｃ
　２　Ａ、Ｄ
　３　Ｂ、Ｅ
　４　Ｅ、Ｇ
　５　Ｄ、Ｆ

　　






【ヒント】市松模様の利用






【解説】
　□の面積を１とする。面積と模様の黒白の個数を利用する。

　図Ⅰを埋め尽くすには面積20分(黒10、白10)が必要で、Ａ～Ｇの面積の合計が28(黒15、白13)なので、面積８(黒５、白３)だけ余分。

　選択肢１～５の中で面積が８であるのは、２ Ａ、Ｄと４ Ｅ、Ｇ。



　よって、黒白の個数を考慮に入れると、必要のない紙片はＥとＧ。

　実際、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｆを用いて次のように埋め尽くすことができる。


　　　　 　　　　　　　　　　正答　４

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正多角形による床の敷き詰め

　合同な正多角形のタイル１種類を用いて、すき間のないように床に貼っていきたい。下のア～エのうちから、すき間のないように貼れるタイルの形を２つ選んだ組合せとして正しいものはどれか。
　ただし、床の端にすき間ができるのは差し支えないものとする。
　ア　正三角形　　　イ　正五角形　　
　ウ　正六角形　　　エ　正八角形
１　ア、イ
２　ア、ウ
３　ア、エ
４　イ、ウ
５　イ、エ











【解説】
　正多角形のタイルで床をすき間なしに貼るためには、正多角形の内角が、360°を割り切ることが条件。
　ア～エの正多角形の内角を求めてみる。

　一般に正ｎ角形の内角を求めるやり方は次の２通りがよく知られている。
① 正ｎ角形の内角の総和を求めてｎで割る。
② 正ｎ角形の外角を求めて180°から引く。

　ここでは②のやり方で求めてみる。多角形の外角の総和はいつでも360°であり、正多角形の場合すべての外角は等しい。
　ア 正三角形
　　　　外角　360°/３＝120°、内角 180°－120°＝60°
　イ 正五角形
　　　　外角　360°/５＝72°、内角 180°－72°＝108°
　ウ 正六角形
　　　　外角　360°/６＝60°、内角 180°－60°＝120°
　エ 正八角形
　　　　外角　360°/８＝45°、内角 180°－45°＝135°

　これらのうちで360°を割り切るのは、アの60°とウの120°。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正答　２

災害対策

　ある市の防災課では、災害対策としてＡ～Ｇの７人の職員が毎日１人ずつ交代で待機体制をとることにした。ある週(日曜日に始まり土曜日に終わる)の体制は次のとおりである。
・Ａは日曜日以外の日に、Ｆは金曜日以外の日に待機する。
・Ｂの翌日はＦである。
・Ｇの翌日はＣである。
・ＣとＦの間には３人いる。
・Ｅが待機する日はＡより後、Ｄより前である。
　このとき、Ｇの前日に待機するのはだれか。
　１　Ａ
　２　Ｂ　
　３　Ｄ
　４　Ｅ
　５　Ｆ
















【解説】
　日曜～土曜を１～７として一列に順に並べる。
　　　日　 月　 火　 水　 木　 金　 土
　　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７

　「Ａは日曜日以外の日に、Ｆは金曜日以外の日に待機」は、￢１Ａ、￢６Ｆと表す。
　他は、Ｂ-Ｆ、Ｇ-Ｃ、……*　
　　　　Ａ＞Ｅ＞Ｄ
　　　　Ｃ-(　)-(　)-(　)-Ｆ　または　Ｆ-(　)-(　)-(　)-Ｃ … **、
と表す。*と**を結び付けて、
　　　　Ｇ-Ｃ-(　)-(　)-Ｂ-Ｆ　または　Ｂ-Ｆ-(　)-(　)-Ｇ-Ｃ

　￢６Ｆを考慮すると、
　　　　１　２　３　４　５　６　７
　イ　　　　Ｇ　Ｃ　　　　　Ｂ　Ｆ
　ロ　　Ｂ　Ｆ　　　　　Ｇ　Ｃ
　ハ　　　　Ｂ　Ｆ　　　　　Ｇ　Ｃ

　空いているところに、Ａ＞Ｅ＞Ｄを入れる。￢１Ａがあるので、イとハは不適。ロだけが残る。
　　　　１　２　３　４　５　６　７
　ロ　　Ｂ　Ｆ　Ａ　Ｅ　Ｇ　Ｃ　Ｄ

　Ｇの一つ前はＥ。
　正解は選択肢４。

帽子の問題(白３赤３)

　白い帽子が３個、赤い帽子が３個のうちから任意に１個ずつ帽子をかぶされたＡ～Ｄの４人が、次のように←の方向を向いて１列に立っている。
　　　Ａ　←　Ｂ　←　Ｃ　←　Ｄ
次の条件があり、４人のうちで最初にＤが「自分の帽子の色はわからない」と発言し、次にＣも「自分の帽子の色はわからない」と発言した。次にＢが、最後にＡが発言した。 このとき、確実にいえるのはどれか。
・Ａ～Ｄは、白い帽子が２個、赤い帽子が３個あることは知っているが、自分の帽子の色は知らない。
・ＤからＡとＢとＣ、ＣからＡとＢ、ＢからＡの各々の帽子は見えるが、Ａからはだれの帽子も見えない。
・論理的に判断して自分のかぶっている帽子の色がわかった者は、その色について他の者に聞こえるように発言することとし、他の者もその発言を参考にすることができる。
１　４人は誰も自分の帽子の色を当てることはできない。
２　Ｂは自分の帽子の色が白のときだけ自分の帽子の色を当てることができる。
３　Ｂの帽子の色は赤である。
４　Ｃの帽子の色は赤である。
５　Ａは自分の帽子の色を当てることができる。










【解説】
　「わからない」という返事のときより、「わかった」という返事のときの方が、絞り込むことができるので、そちらをまず考えてみる。

　Ｄが「わかった」と答えるのは、Ａ～Ｃの３人がすべて白か、すべて赤のとき。３人とも白ならば白はもうないのでＤは赤。３人とも赤ならば、Ｄは白とわかる。

　Ｄが「わからない」と答えたのは、そうでなかったから。すなわち、Ａ～Ｃには赤も白もある。

　次にＣが「わかった」と答えるのは、前の２人が同じ色のとき。２人とも赤ならＣは白。２人とも白ならＣは赤。「わららない」答えたのはそうでなかったから。すなわち、ＡとＢは白と赤が１つずつ。

　次のＢはＡの帽子の色を見て、Ａが白ならばＢは赤。Ａが赤ならばＢは白となる。すなわち、Ｂは必ず自分の色がわかる。

　最後のＡは、Ｂが「自分の帽子の色は白」と言ったならば、Ａは赤であるし、Ｂが「自分の帽子の色は赤」と言ったならば白であるとわかる。　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正答　５

５題８人の試験の結果

　次の表は「正しければ○を、誤っているものには×を付けよ」という形式で５題出題された試験の問題に対するＡ～Ｈの８人の解答を、転記して一覧表にまとめたものである。今、１問の正答に対して１点として、全員の採点をしたところ、Ａは４点、Ｂは４点、Ｃは１点であったとき、Ｄ～Ｈの５人のうち、最も点が高かったものはだれか.

　　　　 　問１　問２　問３　問４　問５
　　　Ａ　　×　　○　　×　　○　　×
　　　Ｂ　　×　　○　　○　　×　　×
　　　Ｃ　　×　　×　　×　　×　　○
　　　Ｄ　　○　　×　　○　　×　　○
　　　Ｅ　　○　　×　　×　　×　　○
　　　Ｆ　　×　　○　　○　　×　　○
　　　Ｇ　　×　　○　　○　　○　　×
　　　Ｈ　　○　　×　　×　　○　　×

１　Ｄ　　
２　Ｅ　　
３　Ｆ　　
４　Ｇ
５　Ｈ










【解説】
　Ａ～Ｃの３人の得点から、問１～問５の正解を推察してみる。Ａ、Ｂは１題しか間違えておらず、問３、問４以外は同じなので、２人が同じ解をしたものは正解。Ｃは問１が正解なので、それ以外は不正解。問３、問５の正解は○とわかる。

　　　　問１　問２　問３　問４　問５
Ａ　　×　　○　　×　　○　　×　　４
Ｂ　　×　　○　　○　　×　　×　　４
Ｃ　　×　　×　　×　　×　　○　　１
正解　　×　　○　　○　　○　　×

Ｄ～Ｈの得点がわかり、得点が最も高いのは、全問正解したＧ。

　　　　問１ 問２ 問３ 問４ 問５
Ｄ　　○ 　× 　○ 　× 　○　　１
Ｅ　　○ 　× 　× 　× 　○　　０
Ｆ　　× 　○　　○ 　× 　○　　３
Ｇ　　× 　○ 　○ 　○　　×　　５
Ｈ　　○ 　× 　× 　○ 　×　　２
　正解　 ×　　○　　○　　○　　×

正答　４

９枚の数字の書かれたカード

　ＡとＢの２人がカードを９枚ずつ持っている。
Ａはカードに１～９の数字を１つずつ順に書き込んだ。Ｂも同様にするつもりだったが、途中で１つの数字を抜かしてしまい、９枚目の数字は10であった。２人は任意のカードを１枚ずつ出し、数の大小を比べたが、結果は次のようであった。
１枚目　Ｂが１大きい
２枚目　同じ数
３枚目　Ａが５大きい
４枚目　Ｂが１大きい
５枚目　Ｂが６大きい
６枚目　Ｂが２大きい
７枚目　Ｂが９大きい
８枚目　Ａが７大きい
９枚目　Ａが３大きい
Ｂが抜かした数字は次のうちどれか。
　１　２　　　
　２　３　　　
　３　５
　４　６　　　
　５　９












【解説】　１枚目から９枚目までＢとＡとの相対差の合計は＋４。
　１枚目　Ｂが１大きい　　　＋１
　２枚目　同じ数 ０
　３枚目　Ａが５大きい －５
　４枚目　Ｂが１大きい ＋１
　５枚目　Ｂが６大きい ＋６
　６枚目　Ｂが２大きい ＋２
　７枚目　Ｂが９大きい ＋９
　８枚目　Ａが７大きい －７
　９枚目　Ａが３大きい －３
計　＋４

　Ａの９枚のカードの合計は、
　　　　１＋２＋３＋……＋９＝45

　＋４より、Ｂの持っている９枚の総和は49。

　Ｂは１～10(総和は55)のうちの１つの数字が抜けていると考えてよい。55－49＝６より、６の数字のカードが抜けている。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正答　４

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階段ジャンケン

　10段の階段がある。ジャンケンをして勝つと二段上がり、負けると一段下がるゲームがある。ＡとＢがこのゲームをして、５回勝負でＡが３勝２敗したところ、Ａは５段目、Ｂは２段目にいた。２人ともいちばん下にいてゲームを始め、いちばん下にいて負けたときはそのままそこにいたとする。確実にいえるのは次のうちどれか。
　１　１回目にＡが勝った。
　２　２回目にＡが負けた。
　３　３回目にＢが勝った。
　４　４回目にＢが勝った。
　５　５回目にＡが負けた。

























　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正答　５

４人のうち２人が合格(ＧＷ法)

　Ａ～Ｄの４人が受けた試験の結果について、４人はそれぞれ以下のように述べているが、本当のことを述べているいるのは１人だけで、他の３人はすべてウソを述べている。合格したのが２人であるとき、合格した2人の組合せとして正しいのはどれか。
Ａ　Ｂは合格した。
Ｂ　ＡとＣのうち１人だけが合格した。
Ｃ　Ｂが言っていることは正しい。
Ｄ　Ｃが言っていることウソである。
１　Ａ、Ｂ
２　Ａ、Ｃ
３　Ｂ、Ｃ
４　Ｂ、Ｄ
５　Ｃ、Ｄ












【解説】
　ＧＷ法による。
　ウソつきグループ３人〔○、○、○〕　正直者グループ１人〔○〕に分かれる。

Ｃ、Ｄの発言から、
　　　　〔Ｂ、Ｃ…〕〔Ｄ…〕
　
　上の人数割りから、
　ウソつきグループ３人〔Ａ、Ｂ、Ｃ〕　正直者グループ１人〔Ｄ〕となる。

　Ｂの発言はウソで、「ＡとＣのうち１人だけが合格した」を否定すると、ＡとＣが２人とも合格したか、２人とも不合格(ＢとＤが合格)かのいずれか。

　Ａの発言はウソで、Ｂは不合格だから、合格したのはＡとＣ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　正答　２

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Ａ～Ｆ6人丸テーブルの座席

　図のような丸テーブルがあり、Ａ、Ｂ、Ｃの男性３人と、Ｄ、Ｅ、Ｆの女性３人が座っている。次のことが分かっているとき、「Ｆの夫」及び「Ｃの真向かいの女性」の組合せとして確実にいえるのはどれか。　　
　　　
・Ａの真向かいにはＤが座っている。
・Ｅの左となりにはＦの夫が座っている。
・Ｂの左隣の女性は、Ｃの右隣に座っている。
・Ｆが座っている席は、夫の隣ではない。
　　　Ｆの夫　　Ｃの真向かいの女性
１　　　Ａ　　　　　　　Ｅ
２　　　Ｂ　　　　　　　Ｅ
３　　　Ｂ　　　　　　　Ｆ
４　　　Ｃ　　　　　　　Ｅ
５　　　Ｃ　　　　　　　Ｆ















　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正答　２
【参考】2006年12月14日　記事一郎次郎三郎春子夏子秋子の座席　

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路線バスの間隔

　路線バスがＡ町ではａ分間隔で、Ｂ町ではｂ分間隔で、Ｃ町ではｃ分間隔で、それぞれ出発する。午前８時に同時に出発してから、次に同時に出発するのが、午後３時35分であるという。３つの町のうち、バスの出発する時間の間隔の最も長いものと最も短いものとの差は何分か。ただし、ａ、ｂ、ｃのいずれも30より小さい異なる整数である。
　１　４分
　２　６分
　３　８分
　４　10分　
　５　12分











【解説】
　午前８時から午後３時35分までは、７時間35分、すなわち、455分ある。題意より、455はａ、ｂ、ｃの公倍数で、この間同時に出発することがないことから、最小公倍数だということがわかる。455を素因数分解すると、
　　　455＝５×７×13
となる。ａ＜ｂ＜ｃと仮定しても構わないので、30より小では
　　　ａ＝５、ｂ＝７、ｃ＝13
となる。最も長いものと最も短いものとの差は
　　　ｃ－ａ＝13－５＝８ (分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正答　３