4322. 公理に必要なもの

　本日はたっぷり働かされたような気がします。火曜日なのに週の大半が過ぎたような感覚がします。体調は良いので特に不満はありません。
　通勤途中の駅や風景は普段通りのようです。

　非ユークリッド幾何学の買い置きの本はいくつかあって、この機会にと読み返しています。本日は昼休みなどにその中の1冊を眺めて。
　割と有名な教育シリーズの一冊のはずですが、肝心なところで図が少なくて、以前読んだ時には見過ごしていた箇所がいくつかあります。役立ちそうな数式が再発見できたので、ノートに記録しました。

　冒頭がやや哲学的で、直感に頼ってはいけない、とのことで、趣旨は何となく分かります。非ユークリッド幾何学の話題なので平行に関する第五公準の事が念頭のようです。
　しかし、ヒルベルトの文字が出てきたところでちょっと怪しくなり、案の定、直線は点の集合とか書いてあります。

　ここの下りは私の感触では可算選択公理で無い方の通常の選択公理が入ってきているような気がします。直観がいけなくても、数学の直観を公理にしたものを入れている、ような気がします。これではせっかくの公理主義が滑稽というかナイーブというか、ネットスラングで言うブーメランが突き刺さっている感じというか。

4321. 双曲空間の正弦・余弦定理、続き^7

　これから2週間程度忙しくなりそうなので、マイコンボードも双曲幾何学も進行速度が落ちると思います。先に進みたい方のために、双曲幾何学の参考書の名前を挙げておきます。

　市原一裕、牛島顕。曲がった世界の三角形の定理たち。技術評論社、2024年

　今回の私のコンピュータグラフィックス計画のきっかけは第4章の「平行移動」です。ここの図解は私にはとても役立ちました。新刊です。

　谷口雅彦、奥村善英。双曲幾何学への招待。培風館、1996年

　数学的にはこれを頼りにしています。今はほぼ手に入らないようで、大学図書館あたりを探す必要があるでしょう。

　土橋宏康。双曲平面上の幾何学。内田老鶴圃、2017年

　ポアンカレモデルの図が豊富な楽しい本です。

　双曲幾何学はミンコフスキー計量が出てくるので、特殊相対性理論に出てくる数式と関連があります。双曲線関数の解説図は特殊相対性理論で出てくるおなじみのものです。
　こちらの物理学との関連があるので、時間ができ次第、関連図書を読み直すつもりです。

4320. 日曜日

　本日は日曜日で私は休日でした。さる理由により家の中の片付けをしていて、本日はそれと普段通りの家事だけで終わりました。趣味はお預け、休息はできました。明日からは普通に仕事です。

　新年からいろいろニュースが飛び込んできている印象です。中でも日本の景気感が良いらしく、株価が急激に上昇しているとのこと。ネットの噂では海外から資金が流入しているらしいです。

4319. 双曲空間の正弦・余弦定理、続き^6

　前項で挙げた双曲空間のタイル貼りの定理を見てみましたが、何だか当たり前の事を言っているようで、生成的では無いみたいです。数学というのは一歩ずつしっかり証明しないと先に進めないので、その手続きのようでした。具体的なタイルの作り方は手探りになりそうです。
　複数の参考書が手元にあるので、適当に例を拾ってコンピュータに絵を描かせることにします。

4318. 双曲空間の正弦・余弦定理、続き^5

　たまたま家にあった5冊ほどの双曲空間の関連書を見ています。数学的には完結していても、必ずしも実際の作図、特にコンピュータでの数値計算に役立つのか、というとそうでも無く、想像というか考察で行間を補わないといけません。
　タイル貼りの「基本領域」については相変わらず根幹になると思っている洋書が見当たらないので、和書で比較的詳しい20ページほどを明日にも読破したいと思っています。

　話題は変わって。通勤途中のハブ駅での海外からの観光客が少し減ったような気がします。少し減っただけで、目立つのは変わりません。時期が時期だからかな、と普通のブレの範囲内と思います。

　同様に国際関係も、何となく少しだけ落ち着いた感じがします。あくまで私の感触です。現在の私は国際どころか国内の仕事の範囲が限られているので、マスコミやネットからの情報で想像するだけです。
　世界的に資本主義の世の中ですから、景気循環があるのは当たり前で、確かに過度の揺れ幅は厳しいのですが、大まかな流れを見ると、概ね西側から見て当然の方向に誘導されているような気がします。誰が誘導しているか、って当代の大国の思惑に決まっています。

4317. 双曲空間の正弦・余弦定理、続き^4

　本日は今年初めての出張でした。激務とはほど遠い通常業務だったのですが、気を遣ったためか疲れてしまい、午後は一通りの仕事をして素直に帰宅しました。

　前項の2種の「回転」の組み合わせで移動後の座標は計算出来ます。基本領域というか、双曲平面を正確に一回だけ埋め尽くす図形の特性はとある参考書に書いてあり、ただし数式だけなので具体例を作らないといけません。

　あとはコンピュータグラフィックスの表現方法に話題が移ります。クラインモデルとポアンカレモデルは2次元円盤なのでそのまま表示できます。三角形のタイルを敷き詰めて、隣接する三角形を白と黒で色分けしたり、辺を線で表す図は参考書やネットでよく見られます。
　二葉双曲面のグラフィック表示は是非ともやりたいので考察中です。できれば二葉双曲面は立体のまま3Dグラフィック表示したいです。

　クラインモデルとポアンカレモデルは、地図の心射図法と平射図法に相当します。他の、例えば正積図法が組めるかどうか、などを検討中です。
　その他、各種分子モデルみたいな、デザイン上の考慮が幾分必要と考えています。

　そうそう、双曲空間では地図の広さが曲率半径程度を超えると、元の地点に二度と戻れなくなると噂されているので、冗談として迷路プログラムを作ってみようかと思います。戻れなくなるとゲームにはなりませんが、スクリーンセーバーみたいな使い方はできると思います。

4316. 双曲空間の正弦・余弦定理、続き^3

　双曲空間の回転運動はほぼ納得できた段階です。後は基本領域ですが、数式と小数例しか参考書には書いてないので、どうするか。自分なりに網羅するか、コンピュータグラフィックスで手を動かしながら考えるか。後者になりそうです。

　二葉双曲面、

　　x^2 + y^2 - z^2 = -1　(^は累乗)

　の上半分、最下点が(0, 0, 1)の、下に凸の曲面上で考えるのが最も楽なようです。
　心射図法、原点を(0, 0, 0)とし、z=1の平面に射影したのがクラインのモデルで、この円盤上で直線になるのが双曲空間の測地線とのこと。二葉双曲面上では双曲線(の一方)になるはずです。原点を含む平面との交線です。

　もう一つが平射図法に相当する、点(0, 0, -1)を中心としてz=0の平面に投射したのがポアンカレのモデルで、測地線は円盤の縁に直角で交わる円になるそうです。

　回転運動は2種で完結します。一つはz軸回りの回転で、普通の三角関数でパラメータ表示できます。
　もう一つがx軸に沿っての「平行移動」で、y軸に垂直な面内の移動となるそうです。測地線は測地線に移りますから、クラインのモデルではy軸に平行な測地線の移動後は平行線になり、幾何学的にはこれでイメージできます。数式では双曲線関数(coshとsinh)のパラメータ表示になります。
　この2種の変換を組み合わせれば、裏返しの無い合同変換(回転群)が構成できます。

　平行移動に関して、ある測地線から等距離の線は、ユークリッド空間では平行線(直線)になりますが、双曲空間では曲線になります。上述のように二葉双曲面では平行の面との交線(双曲線)になるはずです。ポアンカレモデルでは円盤境界の2点を共有する円に投影されるそうです。

　後は「基本領域」となるタイル貼りの元の三角形の座標を計算し、頂点で回転するか、または、辺で鏡映して双曲面を覆って行きます。
　これらの知識でコンピュータグラフィックスはできるはずです。さて、うまく事が運びますか。

4315. ラズベリーパイ・ピコ、続き

　本日は普通の勤務日でした。特に何かが起こる訳でも無く、普通です。職場近所のショッピングモールはまだ半ば正月気分の感じでした。

　隣接する大型書店で、ラズベリーパイ・ピコの参考書は複数あって、目立つ2冊を手に入れました。どちらも昨年の出版です。一つは私にとっては普通で、詳しくて良かったです。多分、後で詳しく見ることになります。もう一つはPython (パイソン)と呼ばれる言語で動作が記述されていました。私は使ったことが無いので、こちらは当面保留となります。

　パイソンに関しては、私はいわゆる食わず嫌いの状態です。きっかけが無いだけで、使い始めたら普通に使うと思います。今のところ、C言語で十分で、PythonでできることはおそらくC++の標準ライブラリでできるし、そうで無ければCommon LISPを使うと思います。その大型書店にもパイソンのコーナーがありますから、現在流行の計算機言語のようです。

　元のRX621マイコンボードはようやく部品を止めるための半田付けをしました。全体では200箇所くらいの半田付けになります。デジタル機器はどうしても信号線が多くなります。手作業の半田付けはそれほど信頼性は無いので、慎重に事を進めます。動いたらその時点で報告し、今回の目標のLCDグラフィック表示器が繋がったらもう一度報告すると思います。

4314. ラズベリーパイ・ピコ

　私の通勤範囲から少しだけ離れた所にある一般向け電子部品小売店に行ってきました。予定していた部品と工具を買って。なあに、どちらもアマチュア向きなので大したことはありません。

　ところが、店頭に置いてあった福袋に目が行ってしまいました。これが運の尽き、というやつ。中身はRaspberry Pi Picoを使った、単体LEDを光らせてみよう、の入門キットでした。
　これが豪華な内容で、デバッグ用のハードまで付いています。外付けで(マイコン開発ではこれが普通)、その代わりボードが安くなります。
　いわゆるブレッドボードで配線します。実を言うと、ブレッドボードを使うのは初めてです。見りゃ分かるようにはなっていますが、経験が無いので多少、不安。

　ラズベリーパイと言えば、ギガヘルツクラスのCPUと、GPU内蔵でHDMIが出力で、それなりのプログラムをしないと不釣り合いの感じがして、あまり手を出す気になれませんでした。
　ラズベリーパイ・ピコはCPUがARM Cortex Mで、GPUは付いていません。つまり、Arduino R4を少しスケールアップした感じです。両者とも私が今取り組んでいるRX621マイコンボードとほぼ同規模です。つまり、競合製品です。

　いや、さすがに名前は知っていましたよ。正体を知らなかっただけです。このクラスのマイコンは組み込み機器に大量に使われているはずです。とても使いやすいのです。
　もちろん、供給体制は万全なはずなので、参考書が複数売られているようなので、見学してみます。こちらからの要請は割り込みが使えることです(マルチタスクでも良い)。あと、無線LANが手軽に使えるのならさらに嬉しいです。

4313. 双曲空間の正弦・余弦定理、続き^2

　で、家の中の蔵書を探索。英語の非ユークリッド空間の本は出てきて、同じような数式が書かれています。ただ、それだけでは役立たないのは前項で上げた座標をどうするかの問題、のはずです。
　それと、ガウス曲率が至る所-1の空間の話なのに、出てくる図が二葉双曲面で、これを何とかして負のガウス曲率に持って行かないといけないのですが、ざっと見の段階では見当たらず。精査してみます。

　この問題に関する、以前から当てにしているキーとなる洋書が出てこないので、見つかるまでマイコンボードの方に専念できそうです。明日にも再び一般向け電子部品小売店に再訪問する予定です。

4312. 双曲空間の正弦・余弦定理、続き

　マイコンボードを何とかしないと、興味が薄れたら何ヶ月後に完成することやら、なのですが、双曲空間の方が気になってきました。こちらも私にとっては絶好のチャンスなので。

　球面で座標を引こうとすると、局所は良いのですが大域的には緯度や経度の線を見れば分かるように素直には行きません。双曲空間も同様なので、どう手出しして良いのかなかなかきっかけがつかめなかったのです。
　原理的には小さな不等辺三角形などの任意図形を用意し、並進(平行移動)、回転、鏡映の3種の運動(合同変換)を考えれば良いのです。しかし平行移動と言ってしまうと非ユークリッド空間における平行って何だったっけ、みたいになってしまうので、直線上を回転も鏡映もなしにするするっと移動するのを並進と呼んでいます。三角形ならある辺を伸ばして、その直線に辺を乗せたまま前後に滑らせればよろしいです。

　この3種の移動について、位置の変換の数式を得たい訳。ところがデカルト座標が素直には引けないので困ったな、ということ。代用として出てくるのが、その移動を群の元と見なして、非ユークリッド平面を埋め尽くす同型の「基本領域」をうまく設定して、その各基本領域に適当な一連番号を付けて、番号の対応で移動を表現すれば良いのではないか、というのがアイデアの元です。

　さあて、そのような図形の移動と正弦・余弦定理がうまくマッチするかどうかが今回の私の作業となります。何となくできるような気がしますが、今の段階では気がするだけです。

4311. 双曲空間の正弦・余弦定理

　職場近所のショッピングモールに隣接する大型書店で購入。ユークリッド空間と球面には三角形の正弦定理と余弦定理があって、この本には双曲空間の対応物が述べられています。
　入門にはこの程度の初級者向けの難易度の本が欲しかったので、ざっと読んでしまいました。後でじっくり計算してみるつもりです。応用例が少ないと考えられているのか、双曲空間の正弦・余弦定理は普通の数学公式集には載っていません。

　ここのところは何度かトライした記憶があって、あまり易しい解説が無かったので嬉しいです。
　まだ私の感覚だけですが、特殊相対性理論の理解に繋がると思います。その手前で、双曲空間の幾何学図形の操作ができるのが第一歩。群論的理解ができたらさらに嬉しいです。
　何か理解できたら、コンピュータに絵を描かせたいと思います。楽しい図が出てきたら公開すると思います。

4310. 仕事開始

　まだ正月休みの所は多いためか、会社に行く時間の通勤電車は乗客が少なかったです。逆に、帰りは観光客が混じって多めでした。職場近所の量販店は冬休みの親子連れが多い感じです。

　古い部品箱の中に押しボタンスイッチを4×4個並べた基板が出てきました。とある基板メーカーが発売していたもので、今は廃品種になっています。なんとか使えそうですが、説明書のwebページは削除されているので、基板の配線を追いかけないといけません。
　電卓のキーは意外に多くて、普通の電卓でも20～24キーはあります。16キーはテンキーは含められるものの、やや中途半端だと思います。かと言って、これ以上スイッチを並べると、普通のキーボードで良いのではないか、みたいになるので、今回はPS/2キーボードの接続を考えています。16キーはずっと小型なのが利点で、お手軽入力に使えるかどうか、もう少し考えてみます。

4309. 三が日

　私が務めている事業所の正月休みは本日までです。明日から通常業務に戻ります。毎年のことです。

　RX621マイコンボードに関しては、さっさと組み立てて動かして良いのですが、少し慎重になっていて稼働まで数日かかる予定です。というのも、10年くらい前に同様のことをやっていたことがあって、家の中を探したら部品がそれなりに出てきて、活用できるかどうかを検討したいからです。例えば、なぜか5VのACアダプタが多数出てきました。おそらくLEDディスプレイ用の電源です。もう、うろ覚えです。

　それと工具類。古い30Wの半田ごてはこて先が潰れていて、使えそうにありません。細かい配線用に今回、20Wタイプを買って、探したら160Wという大型部品用のが出てきました。他にも最低限必要なのはありそうですが、もう一度チェックします。

　なぜ10年前かというと、同じ会社なのですが配置転換があって、こちらにはかなり入れ込んだから、のはずです。今は緩急が分かってきたので、多少の余裕がある、ということ。

4308. 正月二日

　羽田空港で事故があり、石川能登の地震と関連するそうです。能登では近年大きな地震が頻発していて、今回が最大震度のようです。

　本日は私は移動日で、再び東海道新幹線を利用しました。駅は人が多く、しかし私が乗った車両はいつもより多い程度だったと思います。富士山の頂上近くは雲で見えなかったものの、雄大な冠雪の富士が見えました。

　RX621マイコンボードの別売り拡張ボードには表面実装の部品はあらかじめ半田付けされていて、コネクタは個別に部品が入っています。これは実際に配線の経験がある人には実に親切な配慮です、手順を間違わなければですが。経験の無い方にはちょっとしたパズルになります。