4081. 楕円関数論、続き^2

　ううむ、楕円関数関連にのめり込みそうなので、どこで手を打つかを探らないといけない感じになってきました。
　元々の楕円積分は第1種、第2種、第3種と分類されていて、ネットで複素平面関連の絵が出てくるヤコビの楕円関数は第1種のものだそうです。第2種と第3種は逆関数(?)の空間が少し複雑になっていて、取り扱いが難しくなって行くみたいです。

　その楕円関数は定義域を複素数とすると2重周期になっていて、トーラス(円環)のトポロジーとなっていて、盛んにトーラスの図が出てきます。値域はリーマン球面(無限遠点をユークリッド空間に追加したもの。元が(複素数)平面なら(普通の)球面になる)となるようです。

　トーラスは3次元空間ではドーナツ型で、内部と外界が同じトポロジーと言われても少し想像力を働かせないといけませんが、4次元だと4次元球の表面(3次元)つまり超球面の北半球(?)と南半球(?)の境目になっていて、割と素直な界面(2次元)です。したがって、北半球と南半球の回転数を独立に設定することが出来て、整数比(分数)ならば整数論に向かう、ということ。通常はもちろん任意の実数比なので流れの傾向しか分かりません。

　ここは幾何学的に考えた方が理解が進むはずで、第2種、第3種も何となく同様に考えられるはずで、そんなことを考え出すとかなりの時間がかかりそうで、どうしようかな、の気分になっている訳。若い頃なら一気に片付けているような気がしますが、その一気の期間が1ヶ月で済むならともかく、十年とかなら厳しいし、しかしこんなに良い機会はめったに無いし。

　躊躇する理由は私は量子力学系は射影空間の感覚が必要だと思っていて、楕円関数論には今のところ出てこないような感じだからです。つまり私の求める方向とは違っていて、こちら方向に長く旅するのはとんだ寄り道の感じがして、しかし現代数学と複数方面で繋がっているので無視する訳にも行かず…、ううむ。

4080. 楕円関数論、続き

　さらに探したら2冊の関連書が出てきました。ただし、この7冊の中で教科書に相当するのは2冊のみです。2冊は歴史書で2冊は数学雑誌の特集の感じの本(話題集)、残る1冊はヤコビの著書の邦訳、つまり古典です。
　他に2種の公式集があって、なぜかどちらも楕円関数に関してはやたらと詳しいです。応用分野は私は知りませんが、これだけ美しい数学分野なので、将来きっと展開があるはずだ、の感じです。私自身、少なくとも数学の訓練というか練習になるとおもって調べています。

　一つは計算方向で、加法定理があるのでうまくやれば相当の加速が期待できます。もう一つは対称性で、格子というのは多面体の表面を展開した形なので、球面や円柱に関連する特殊関数(加法定理が成り立つ一群の関数)との結びつきが気になります。
　そこまで行けたら満点ですが、私の今の感覚では寄り道なのでやることやって(表示)、さっさと切り上げたいところです。

　そうそう、あと楕円曲線との関係があって、モジュラー形式とか出てきて、私の理解では要素が整数の行列で、いわゆる暗号理論と結びついています。楕円暗号と呼ばれるもの。楕円関数と楕円暗号は関係ない、という解説もありますが、関連している経路はあります。

4079. 楕円関数論

　楕円関数の複素平面表示のために、片付けていた本の山を適当に崩して、4冊ほど出てきました。複素変数の楕円関数の値(複素数)は先日出てきた本に出ています。
　もう一つの、最初見た時は難解な感じがした楕円関数論の本は今見ると何となく分かるというか、この歳になっても数学の学習は可能なのだと。いや、ずっと以前から楕円関数の存在と何となくの意義や操作は知っていましたから、用語に慣れてきただけなのかも。やや独特の言い回しをする著者のようです。

　これと以前から使っている数学公式集を照らし合わせると具体的な計算が出来そうです。意味というか意義の方は物理学と結びつけた章が複数の本でいくつか見られるので、後で検討します。似た感じの三角関数と同様に簡単な微分方程式の解の一角になっているようです。
　とりあえず、ヤコビの楕円関数(sn, cn, dn)の(複素平面上の)グラフが欲しくて、どうやらテータ関数と呼ばれる前段階の関数を計算すれば良い感じで、もろに三角関数が使われているのでそりゃ周期解になるわ、の感じです。ただ、換算のためにワイエルシュトラスの楕円関数と呼ばれるのも必要かも。　

　「楕円」関数なので楕円の形を決める離心率のパラメータが入った三角関数(円関数)の感じ、と言えば何となくイメージが湧くと思います。ヤコビの楕円関数の場合は、パラメータの両端は三角関数と双曲線関数になります。ピタゴラスの定理は2乗が3個並んでいますが、こちらでは3次または4次関数が入っているのが特徴で、少し高級な三角関数の感じです。ただし、この路線はここで行き止まりのようです。

　空間格子(等)にするためには単に直積を取れば良いのか、あるいは四元数みたいなのを持ち出さないといけないのかは今後の私の検討課題です。四元数の方もごくゆっくりと調べていて、割り算の出来るベクトル、が合い言葉のようです。四則は可能なものの交換則が崩れているので、有理体とか実数体とか複素数体などと区別して斜体と呼ばれるようです。今は行列の演算で反交換則(?)に慣れている人は多いはずです。逆行列と対応するのかどうかは別で、検討しないといけません。関連はしているはずなのですが…、何となくそう思うだけ。こちら、つまりベクトル解析で接近する方が早いかも。

4078. キャラと声優の誕生日

　明日、5月29日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、白石紬(ミリオンライブ)の誕生日だそうです。
　同日は、同じく仮想アイドル、高垣楓(シンデレラガールズ)の声優、早見沙織さんの誕生日だそうです。
　翌日、5月30日は同仮想アイドル、水瀬伊織(オリジナル765)の声優、釘宮理恵さんの誕生日だそうです。
　その翌日、5月31日は同仮想アイドル、諸星きらり(シンデレラガールズ)の声優、松嵜麗さんの誕生日だそうです。
　いつものようにスターリットシーズンの新着PV欄で有志・精鋭Pがお祝いのPVを上げるはずです。

4077. 反転攻勢

　なぜか報道は大人しいですが、ウクライナのNATOにバックアップを受けた、ロシアに対する反転攻勢はすでに開始されているようです。ゼレンスキー大統領は念押しにG7の我が国を訪れたようです。軍事作戦なので詳細は当分公表されないはずです。

　東アジア情勢は今は落ち着いている感じですが、ネットでの多分、友軍側による世論工作が進行している感じで、近々はともかく何か起こる予感がします。紛争とは別に自由貿易圏を確保するためには裏付けが必要で、日本はしっかりと準備せよとの主にG7周りでの雰囲気が漂っています。

4076. 図形プログラミング

　今月はなぜか仕事での拘束時間が長くて疲れました。幸いにも体力はあるので何とかなりそうです。来月は少し余裕が出来るかも。

　なので個人的プログラミングは約1ヶ月間ほどストップしました。他が進行しているから別に構いません。構想というかスケッチは少しずつ進んでいます。
　とりあえず複素平面で極(分母が0)の表示を考えていて、この機会に楕円関数の表示をやりたくなってきて、しかし家の中を片付けたのでとっさに参考書が出てきません。公式集は手元にありますが簡素な表現です。

　20世紀初頭あたりまでの楕円関数の研究は割とインパクトのあった出来事のようなので、少しでも感覚をつかみたいからです。平面に格子が現れる素直な例は貴重です。加法定理を有する他の特殊関数はまだ初期の検討中です。一般向けの級数の本にΓ関数とベータ関数の負の整数部分に極が現れる理由が簡単に説明されていて、こちらも何とか適切な表示が出来ないかと考えています。

　そう、極という時はリーマン球面のトポロジーになるようです。北極点に相当するので極(pole)と呼ばれているのかな。全方向への無限の彼方が点に収束するのはちょっと妙だと考えていましたが、今になって割と不自然では無いような気がしてきました。

4075. 製造業者

　なにやらPS5に接続するためのポータブル端末がソニーから発表されたみたいです。機能がある程度分かって感想が湧くならここで取り上げます。

　本日はとある製造業の事業所に出張しました。事業内容は当方とは全く異なるので短時間に見えた範囲の話ですが、大企業みたいでいろいろな部署があって温度差はありそうでしたが、概ね好調というか儲かって笑いが止まらない感じです。各部門のストレスはものすごいものの、何だか明るい感じ。

　世界的なサプライチェーン変化による日本国内の製造・流通拠点の整備はただいま準備中の話で、まだ新しい建物は整備中が大半と思います。早くても今年(2023年)の後半からですからそろそろ稼働し始めるかどうかの段階と思います。
　その前の段階でこれですから、かなり大きな波がやってくるような気がします。つまり今後10年ほどはアクセルを踏んでいる時期でしょう。
　30年ほど前のバブル期と比べて、今は数倍の経済規模になっているそうで、停滞したと表現されますが単に上っ面が吹っ飛んだだけだったようです。街の姿も良い方向にすっかり変わってしまいました。

4074. 実数の連続性の証明、続き

　当面必要なのは選択公理を使った証明では無く、一般向けの選択公理のキャッチフレーズのような気がしてきました。
　例えば、平行線の公理なら、成り立つのがユークリッド幾何学で「平らな平面」、成り立たないのが非ユークリッド幾何学で「曲がった空間」みたいなの。

　さっと思いつくのは、選択公理を必要としないのが有理数とユークリッド幾何学の世界、可算選択公理を採用するのが実数と微積分と測度の世界、普通の選択公理を採用するのが祭壇の立方体の体積を分解・組み立てで2倍にする技術、…最後のは冗談です。
　選択公理の日本語の解説書はあるので適当に示すことは出来そうな気がしますが、ここはひとつ、権威のある方がそれぞれの思いを言っていただくとか、一般数学誌なら読者アンケートを取るとか。

　ちなみに普通の計算機言語だと高階のプログラムというのは解の収集とかデータ集合の写像とかを指します。LISPを知っている方はEVAL関数とAPPLY関数でLISP処理系がシミュレーションできることをご存じでしょう。これに関することと考えれば良いはずです。

4073. 摩美々の誕生日

　明日、5月24日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、田中摩美々(シャイニーカラーズ)の誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。

4072. 実数の連続性の証明

　先週の金曜日だったか、1週間ぶりに職場近所のショッピングモールに隣接する大型書店に行くと、一般向けの数学系の雑誌が売られていました。買ったのは、数学セミナー、現代数学、数理科学です。現代数学は先月に先月号は見当たらなかったので、とうとう店頭販売を見送るのかと思ったら今月は売っていますから単に売り切れだったみたいです。

　その中の一冊で実数の連続性の特集をやっています。なかなか興味深いことが起こっていますので、非難にならない範囲で紹介します。いや、多少衝撃を受けた、ということ。
　と言うのも、最初の記事で分数までしか認めない人に連続性を説明するためにデデキントの切断といわゆるε-δ論法を提示して証明しています。ここで吹いた訳。

　なぜなら、その両者とも選択公理を使用していて、分数までしか認めない人というのは選択公理にダウトを抱いている人々だからです。その選択公理は実数の連続性を公理系に持ち込むために導入された公理で、通常の述語論理では肯定も否定も出来ない代物です(ユークリッドの第五公準の感じ)。
　言い換えると「連続性に必要な仮説を導入すれば、連続性が証明できます。ほら、どうでしょうか」みたいな感じです。ええ、良かったですね、ふう、というのが正直な感想です。

　ついでながら、この特集全体で選択公理のせの字も出てきません。それほど選択公理は現代の数学者にとっては空気や重力みたいに当たり前の事みたいです。いや、もう少し宇宙に視野を広げてみるとずっと広い世界が見渡せますよ、の気分です。かろうじて数理論理学で最も警戒すべき排中律の言葉は出てきます。
　集合論の公理化が課題だった時代にも、その筋の専門家のはずなのにうっかり選択公理を使用してしまった例はあるそうなので、その例を目の当たりにするとは予想もしなかったので衝撃を受けた、ということ。

　3ヶ月前の私なら編集部に手紙を送っているところですが、今はε-δ論法に必要なのは選択公理の中でも非常に弱い可算選択公理で十分なことが分かっていますから、こちらはもう良いです。むしろ関心は一階述語論理の範囲内での証明可能性に移っていて、実数の演算をまともにやると可算無限個のメモリと計算時間が必要ですから、ここをどうするのだ、の部分。
　ここは第五世代コンピュータの時代には議論されていて、途中までは分かるのですが、肝心の最後の詰めがいまいち不明なので、私は今も時間があれば探し回っています。

　つまり、多分おそらく、チューリング機械にて遅延評価とか横型探索とか呼ばれている技法を使えば良いのですが、一般の実数が正確に一致している場合はこの部分はいつまで経っても計算が終了しません。その特集で示唆されているように、最小の単位を定義してしまえばそこで計算が終わるので、こちらなら普通のBASICやC言語の縦型探索でも対応でき、実際に使われているのはまさにその通りの64bitのIEEE浮動小数点演算などです。
　問題は、その遅延評価や横型探索だけでOKなのかどうかです。実用的には効率の関係上、縦型探索を用意してPROLOGのカット述語やGHCのガードと呼ばれる同期機構を導入します。感じとしては物理学のコペンハーゲン解釈みたいな事が起こるので、何となく不自然な感じがしますが、これをやらないと多世界解釈、つまり事象の場合の数が爆発します。

4071. 亜美・真美の誕生日

　明日、5月22日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想双子アイドル、双海亜美・双海真美(オリジナル765)の誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。

4070. ゼレンスキー大統領、訪日中

　紛争中のウクライナのゼレンスキー大統領がG7の首脳会議を開催中の我が国を訪問中だそうです。びっくりしました。
　数日前から噂が立っていて、私は少なからず国内で政治的動きをする個人・団体の動向調査のための偽情報かもしれないと思っていましたから。

　明日が主要日で、さっそく本日から要となる国家の首脳と会談されているようです。
　感じとして、EUと米国が全力で事を運んでいる感じで、日本は場を提供している感じです。わざわざアジア経由で来訪されたのも一つのメッセージだと思います。

4069. 社長の中の人の誕生日

　本日、5月19日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想社長(オリジナル765 / ミリオンライブ)の高木順二朗氏の声優、大塚芳忠さんの誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で精鋭Pがお祝いのPVを上げています。

4068. 中学数学公式集

　本日の出張先はいわゆる少子化問題をもろに受ける業界だと思うのですが、見えた範囲では元気があります。外から見える部分だけなので内情は知りません。
　先進国では少子化と言われているものの、米国の人口はいつの間にやら増えていますからもう少し突っ込んで考える必要があるのかも。

　複素関数の入門書はもうあと少しで完読で、ちょっと補いところがあるのでそれをやっつけてから感じたところを書くかもしれません。あまりに当たり前と思ったら次の話題に移ります。

　ゴールデンウィーク前半に家の中を片付けていて、中学時の公式集が出てきました。高校数学と大学数学のギャップが時々話題になりますが、数学とひとくくりにすれば延長の範囲だと思います。それより、小学時の算数から中学の数学になった時に、これは勉強しないと身につかない、と思ったものです。小学生の時は授業について行くだけで十分でしたが、中学数学は参考書などで周辺を調べないとどうにもならないと感じたものです。
　数学教育一般を批判する気にはとてもならないので、その1973年当時のポケットサイズの公式集を取り上げます。

　3部に分かれていて、基礎編、代数編、図形編になっています。基礎編は当時導入されたばかりの集合論で始まっていて、命題(数理論理学)と証明の話題があります。
　代数編は自然数から始まって解析学の手前まで説明した後、確率と統計で終わり。図形編はもちろん幾何学の話で、ユークリッド幾何学みたいな始まり方をして(もちろん現代風に)、解析幾何学とトポロジーの初歩で終了です。
　三角関数や複素数は出てきません、もちろん微積分も無し。時代が時代だけに計算尺の使い方の章が入っています。

　ベクトルはありませんが、実質的に幾何学でやっているので、行列に相当する連立一次方程式ともども、線形代数の最初の範囲は網羅している感じです。
　ですから公式と言っても、無理矢理覚えないといけないと思ったのは二次方程式の解の公式だけだったと記憶しています。

　ですから、なぜこの本(180円)を買ったのかがいまいち思い出せません。当時の私は電子工作をしていたので、それに必要な数学と、当時急速に普及を始めていた電子計算機を(生意気にも)調べていて、いわゆる科学技術計算をざっと見していました。あまり使った形跡は無く、最初の基礎編の所に集中していた感じです。
　今で言う数学基礎論ですから、数学の応用分野を眺めていて、足りないと思ったのがここだったのだと思います。

4067. 留数

　本日は午前の半日出張でした。こちらは景気にはあまり左右されない業界だとは思うものの、充実している感じで社員がごく丁寧に対応して下さいました。作業のまとめに短時間、会議室などの部屋を借りるのですが案内された部屋は娯楽室の表示です。小さな食堂みたいなところでした。よくまとまっています。
　日本の株価が好調らしく、前回のバブル期に迫っている感じです。今週末には広島でG7の首脳会議が行われるらしく、先週は何となく警備当局が慌ただしい感じでしたが、本日からはスタンバイ状態に入ったらしく、少し落ち着いています。

　複素関数入門はちょっと期待していたさる級数の話には入りませんでした。さっさと特異点と留数の章に入ってしまい、うむ、ここまで丁寧に解説されないとしっくりこないというか。(自分の作業のための)電子工作やソフト作りなどで必要なので分かったつもりになっていましたが、この歳になって数学基礎のやり直しです、やれやれ。

　要するに(有理)関数が確定した時に複素平面全体の特性の一部が分母がゼロの特異点の特性で決まってしまう、ということ。これは複素関数で微分可能というのがとても制限のある状況だからだそうです。
　こんなのを見ていると、電子が点に見える、というのは特異点に相当する構造がプランク長付近に固まっているだけで、実態は波動関数だったかシュレーディンガー方程式だったか、もう少し別のもののような気がしてきました。