本日も普通にお仕事です。今週は先週ほどでは無いにしてもやや忙しくて、趣味に戻れるのは来週からとなりそうです。なので、余った時間に読書するくらいしかできません。
ベクトルに関する新刊で、なぜかミンコフスキー空間の話が最後の方に出てきて、少し以前に本ブログで取り上げた二葉双曲面の上半分のモデルが出てきて。
原点(0, 0, 0)からの曲面上の「位置ベクトル」と、その地点での接平面に「単位ベクトル(基底)」を適当に置くと、測地線のパラメータ表示が可能、なのですと。これは便利そうなので、もっと早く知りたかったです。まあ、多少とも私の理解が進んでいるので良し、としますか。
もっとも、この本ではポアンカレモデルは詳しく出てきて、しかしなぜかクラインモデルが出てこないので、いわゆるかゆいところに手が届かない感じがします。短い章なので入れると文章が引き締まらなくなる、と考えたのだと想像します。
この本では無く、元の参考書で「距離」の算出式が出ていて、ところがその値が負になることがあって、要するに上述の「単位ベクトル」に掛けるスカラー値「成分」のことみたいです。北に-300m進む、というのは南に+300m進むのと同じ、ということで「基底」を概念に含む数値でした。
一方で「ノルム」の概念があり、ユークリッド空間で言うピタゴラスの定理の普通の距離を指すことが多いです。しかし「距離」とはかなり語感が違います。
まず、平方根を取る前の二乗のままの値をノルムと名乗っている場合があります。二乗ではなく、一乗のマンハッタン距離、というのがあり、無限乗の「最大値関数」のようなのもノルムと言い、間の悪いことに実用数学ではどれも使います。
このノルムと内積の概念が微妙に重なっていて、ミンコフスキー空間では通常の内積も多分使いますし、いわゆるミンコフスキー内積(不定計量。負があり得る)も普通に出てきます。この本の良かった点は、ミンコフスキー内積に別の記号「★」を使っていることです。歴史的にそうなのか、通常の数学書では普通の内積もミンコフスキー内積も「●」の記号を使ってしまうので、時に混乱します。
で、これでもまだ(双曲)平面の話で、実際の物理空間は三次元ですから、多分、四元数のようなものを使わないと収拾が付かないはずです。四元数は単なるベクトル場(3個の虚数部)ではなく、スカラ場(1個の実数部)が表裏一体でくっついていて無視することはできません。ここも上述のノルムと同じく、私から見ればいわゆる計量の用語が多少錯綜している感じです。
