マイコンボードを何とかしないと、興味が薄れたら何ヶ月後に完成することやら、なのですが、双曲空間の方が気になってきました。こちらも私にとっては絶好のチャンスなので。
球面で座標を引こうとすると、局所は良いのですが大域的には緯度や経度の線を見れば分かるように素直には行きません。双曲空間も同様なので、どう手出しして良いのかなかなかきっかけがつかめなかったのです。
原理的には小さな不等辺三角形などの任意図形を用意し、並進(平行移動)、回転、鏡映の3種の運動(合同変換)を考えれば良いのです。しかし平行移動と言ってしまうと非ユークリッド空間における平行って何だったっけ、みたいになってしまうので、直線上を回転も鏡映もなしにするするっと移動するのを並進と呼んでいます。三角形ならある辺を伸ばして、その直線に辺を乗せたまま前後に滑らせればよろしいです。
この3種の移動について、位置の変換の数式を得たい訳。ところがデカルト座標が素直には引けないので困ったな、ということ。代用として出てくるのが、その移動を群の元と見なして、非ユークリッド平面を埋め尽くす同型の「基本領域」をうまく設定して、その各基本領域に適当な一連番号を付けて、番号の対応で移動を表現すれば良いのではないか、というのがアイデアの元です。
さあて、そのような図形の移動と正弦・余弦定理がうまくマッチするかどうかが今回の私の作業となります。何となくできるような気がしますが、今の段階では気がするだけです。
