時々話題になる、1 = 0.9999…。よく見たら連続性の説明に使えそうと思えてきました。この手の話題はアイデアよりも検証の方が肝心で、私には出来そうも無いので、以下、気に入られたらご自由にお使い下さい。
微分で出てくるdx、つまり無限小の違いの説明に使えると思ったのです。
1.00000… - 0.99999… = dx = 0.00000…
小数点以下を延ばして行きます。こうすると、dxは際限なく小さくなります。コーシー列の説明になりますし、小数点以下は高々可算無限個ですから、必要な選択公理は可算選択公理で足りそうな気がします。コンパクト集合が閉集合・閉区間になる理由も。
これで行くと、
π - 3.14159… = dx = 0.00000…
が何となく怪しく見えるのは、前者の…の都合によってどこかで収束しないかもしれない、みたいに見えるからだと思います。円周率に関しては、任意の桁の数字を算出するアルゴリズムがあるそうなので、それで何とかなるかもしれません。
とすると、上述の0.99999…の方も…の解釈が自由すぎて、証明にはほど遠いと思います。説明というか、理解の助けにしかならないでしょう。
非常にいやな等式、
0 + dx = 0
も、0.00000… + dx = 0.00000…
と書くと、少しは納得…できるかな。
