その数学史の本の古代ギリシア数学編、アルキメデスの原理が出てきました。ことさら有名な浮力の方では無く、数学の方。この本の文章を引用すると、
「二つの量Nとεが与えられたとせよ。この時εを次々にたしていく(＝何倍かする)ことで、いつかはNを超えることができる。」
です。これはたしか我が国の明治・大正期の数学者、高木貞治氏の一般向け数学啓蒙書に出てきて、これが無いと実数の定義がうまく行かないのだ、とか何とか。私はほんの数年前に読んだのですが、その時は読み流してしまいました。
Nは大きな量、εは小さな量が仮定されています。普通に眺めるとどこが不思議なのか分からないと思います。アルキメデスの時代には量とか数と言っても自然数かその分数、せいぜいユークリッド幾何学で実質上出てくる普通の平方根(√)までなので全く問題ないと思います。
しかし、よく考えてみたら、グラフにすると中間値の定理の構造になっていますから、(可算)選択公理が仮定されています。ただし、それはずっと後年、連続性を要求する実数の概念が出てからのこと。
この「落ち」が後のページで、いわゆるフラグ回収されているのかが見所になってしまいました。
